оглавление

 

5. О целых числах, близких к τ 2n .

 

В приведенной ранее “Таблице разложения натуральных чисел по τ 2 обращают на себя внимание числа, выделенные жирным шрифтом.

Эти числа имеют вид: 10 ….. 00,0 ….. 01 .

Последовательность чисел такого вида уходит в бесконечность и составляет своего рода “скелет” натурального ряда в смысле разложения по τ 2 .

Замечательное свойство этих чисел состоит в том, что они мало отличаются от ближайшего целого ( и чем дальше – тем меньше это отличие ).

Иными словами, τ 2n = ni - τ -2n , где ni – ближайшее целое. Это – одно из самых удивительных свойств З.С., точнее – квадрата З.С.

Обозначим T = τ 2 , тогда ni = ∑an τ 2n = τ 2n + τ -2n = Tn + T-n .

Перемножим 2 числа вида ni :

ni * nj = (Ti + T-i) * (Tj + T-j) = (Ti+j + T-(i+j)) + (Ti-j + T-(i-j)) = ni+j + ni-j , i>j .             (*)

Мы получили, что перемножение чисел вида ni сводится к сложению чисел из этой же последовательности: ni+j + ni-j .

Пример:

i = 2, j = 1 :

ni = τ 2*2 + τ -2*2 = 7 , nj = τ 2*1 + τ -2*1 = 3 ,

ni+j = τ 2*3 + τ -2*3 = 18 , ni-j = n1 = nj = 3 ;

7*3 = 18 + 3 .

 

Рассмотрим случай i = j :

ni * ni = (T2i + T-2i) + (T0 + T0) = n2i + 2 ,

ni2 = n2i + 2                 (1)

Пример:

i = j = 2 :

ni = 7 , n2i = 47 ;

7*7 = 47 + 2 = 49

Заметим, что нулевым членом последовательности ni удобно считать число 2.

Формулу (1) можно применять для расчета чисел вида n2i :       n2i = ni2 – 2 .

Иными словами, мы получили формулу для очень точного расчета четных степеней З.С.

А, взяв за основу только одно число n1 = 3 , мы можем рассчитать все числа вида τ k , где k = 2i .

 

Вернемся к случаю i > j . Наглядно результат перемножения чисел ni и nj выглядит так:

ni * nj = 10 ….. 010 ….. 00, ( отрицательная часть ) , где первая единица стоит на (i+j) – й позиции, вторая – на (i-j) – й. Между ними находятся 2j-1 нулей.

Невооруженным глазом виден еще один особый случай перемножения:

ni * nj = 10 ….. 010, ( отрицательная часть )

Здесь “вторая” единица стоит в 1-м разряде троично-зеркальной записи.

Применяя формулу (*) , получаем:

ni * ni+1 = n2i+1 + n1 = n2i+1 + 3           (2)

Эта формула применима для расчета нечетных членов последовательности и, следовательно, приблизительного расчета нечетных степеней числа τ 2 .

 

Соотношения (1) и (2) дают возможность быстро рассчитать некоторые большие степени З.С. Для расчета (не столь быстрого, но очень простого) всех степеней числа τ 2 выведем из (*) рекуррентную формулу:

ni-1 * n1 = ni + ni-2 , отсюда, учитывая, что n1 = 3 , получаем:

 

ni = 3ni-1 - ni-2        (3) 

  

Пользуясь формулами (1) - (3) и оценочной формулой τ 2i = ni - τ -2i , можно приблизительно рассчитать любое число τ 2i , причем чем больше i, тем точнее приблизительный результат.

 

Тем, кого заинтересовала проблема расчета степеней константы t 2, предложим еще поиграть с формулами (*), (1) - (3) .

Возведем в квадрат уравнение (3) :

ni2 = 9ni-12 + ni-2 2- 6 ni-1 ni-2 = … (используем ф-лы (1),(2)) … =

= 9(n2(i-1) + 2) + (n2(i-2) + 2) – 6(n2(i-2)+1 + 3) =

= 9n2 i-2 - 6 n2 i-3 + n2 i-4 + 2

Так как ni2 = n2i + 2 , то:

 

n2i = 9n2 i-2 - 6 n2 i-3 + n2 i-4       (4)

 

Пример:

n6 = 9*47 – 6*18 + 7 = 322 = τ 12 + τ -12τ 12 = 321,99689

 

далее