оглавление

5. О целых числах, близких к τ ²ⁿ .

В приведенной ранее “Таблице разложения натуральных чисел по τ ² ” обращают на себя внимание числа, выделенные жирным шрифтом.

Эти числа имеют вид: 10 ….. 00,0 ….. 01 .

Последовательность чисел такого вида уходит в бесконечность и составляет своего рода “скелет” натурального ряда в смысле разложения по τ ² .

Замечательное свойство этих чисел состоит в том, что они мало отличаются от ближайшего целого ( и чем дальше – тем меньше это отличие ).

Иными словами, τ ²ⁿ = n_i - τ ^-2n , где n_i – ближайшее целое. Это – одно из самых удивительных свойств З.С., точнее – квадрата З.С.

Обозначим T = τ ² , тогда n_i = ∑a_n τ ²ⁿ = τ ²ⁿ + τ ^-2n = Tⁿ + T^-n .

Перемножим 2 числа вида n_i :

n_i * n_j = (Tⁱ + T^-i) * (T^j + T^-j) = (T^i+j + T^-(i+j)) + (T^i-j + T^-(i-j)) = n_i+j + n_i-j , i>j . (*)

Мы получили, что перемножение чисел вида n_i сводится к сложению чисел из этой же последовательности: n_i+j + n_i-j .

Пример:

i = 2, j = 1 :

n_i = τ ^2*2 + τ ^-2*2 = 7 , n_j = τ ^2*1 + τ ^-2*1 = 3 ,

n_i+j = τ ^2*3 + τ ^-2*3 = 18 , n_i-j = n₁ = n_j = 3 ;

7*3 = 18 + 3 .

Рассмотрим случай i = j :

n_i * n_i = (T²ⁱ + T^-2i) + (T⁰ + T⁰) = n_2i + 2 ,

n_i² = n_2i + 2 (1)

Пример:

i = j = 2 :

n_i = 7 , n_2i = 47 ;

7*7 = 47 + 2 = 49

Заметим, что нулевым членом последовательности n_i удобно считать число 2.

Формулу (1) можно применять для расчета чисел вида n_2i : n_2i = n_i² – 2 .

Иными словами, мы получили формулу для очень точного расчета четных степеней З.С.

А, взяв за основу только одно число n₁ = 3 , мы можем рассчитать все числа вида τ ^k , где k = 2ⁱ .

Вернемся к случаю i > j . Наглядно результат перемножения чисел n_i и n_j выглядит так:

n_i * n_j = 10 ….. 010 ….. 00, ( отрицательная часть ) , где первая единица стоит на (i+j) – й позиции, вторая – на (i-j) – й. Между ними находятся 2j-1 нулей.

Невооруженным глазом виден еще один особый случай перемножения:

n_i * n_j = 10 ….. 010, ( отрицательная часть )

Здесь “вторая” единица стоит в 1-м разряде троично-зеркальной записи.

Применяя формулу (*) , получаем:

n_i * n_i+1 = n_2i+1 + n₁ = n_2i+1 + 3 (2)

Эта формула применима для расчета нечетных членов последовательности и, следовательно, приблизительного расчета нечетных степеней числа τ ² .

Соотношения (1) и (2) дают возможность быстро рассчитать некоторые большие степени З.С. Для расчета (не столь быстрого, но очень простого) всех степеней числа τ ² выведем из (*) рекуррентную формулу:

n_i-1 * n₁ = n_i + n_i-2 , отсюда, учитывая, что n₁ = 3 , получаем:

n_i = 3n_i-1 - n_i-2 (3) 

Пользуясь формулами (1) - (3) и оценочной формулой τ ²ⁱ = n_i - τ ^-2i , можно приблизительно рассчитать любое число τ ²ⁱ , причем чем больше i, тем точнее приблизительный результат.

Тем, кого заинтересовала проблема расчета степеней константы t ², предложим еще поиграть с формулами (*), (1) - (3) .

Возведем в квадрат уравнение (3) :

n_i² = 9n_i-1² + n_i-2 ²- 6 n_i-1 n_i-2 = … (используем ф-лы (1),(2)) … =

= 9(n_2(i-1) + 2) + (n_2(i-2) + 2) – 6(n_2(i-2)+1 + 3) =

= 9n_{2 i-2} - 6 n_{2 i-3} + n_{2 i-4} + 2

Так как n_i² = n_2i + 2 , то:

n_2i = 9n_{2 i-2} - 6 n_{2 i-3} + n_{2 i-4} (4)

Пример:

n₆ = 9*47 – 6*18 + 7 = 322 = τ ¹² + τ ^-12 ≈ τ ¹² = 321,99689

далее