оглавление

6. Обобщения рядов Фибоначчи, сделанные А.П. Стаховым и Н.В.Косиновым.

Рассмотрим две формулы: для чисел Фибоначчи и для чисел n_i , рассмотренных в предыдущей главе:

F_i = F_i-1 + F_i-2

n_i = 3n_i-1 - n_i-2

Эти формулы похожи: они задают последовательности, определяя последний член как линейную композицию 2-х предыдущих. В статье Н.В.Косинова “Золотая Пропорция, Золотые Константы и Золотые Теоремы” рассматриваются подобные последовательности ( a _n = ± k*a _n-1 ± a _n-2 ) и их инварианты: предел lim и уравнение x² ± kx ± 1 = 0.

К изложенному в статье Н.В.Косинова хотелось бы добавить следующее. Пусть n _i – “Золотая последовательность” вида: n _i = Aⁱ + A^-i , A € R .

Тогда, как было показано в предыдущей главе, n _i * n _j = n _i+j + n _i-j .

Заменим A на A^s , где S € N и j = 1.

Тогда:

n _is*n _s = n _s(i+1) + n _s(i-1) ,

n _s(i-1)*n _s = n _si + n _s(i-2) ,

n _si = n _s*n _s(i-1) – n _s(i-2) .

Получилась “Золотая последовательность” (термин Косинова Н.В.), где в качестве коэффициента k выступает константа n _s .

То есть, если мы имеем некоторую “Золотую последовательность”, имеющую предел lim = A , то для другой “Золотой” последовательности, имеющей предел A^s , коэффициент рекурсии k = n _s , т.е. равен s-ому члену предыдущей (порождающей) последовательности.

Опираясь на теоремы, изложенные в статье Н.В.Косинова, запишем:

A^s + A^-s = n_s ,

т.е. A^2s – n_sA^s + 1 = 0

Отсюда A^s = (n _s ± ) / 2

Об обобщениях, сделанных А.П. Стаховым, предлагается почитать на его сайте goldenmuseum.com .