Класс DMATRIX – операции с матрицами на C++

 

Технический перевод


Главная

  

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

 

( По материалам сайта electrichelp.ru )

 

 

 

Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.

Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

 

 

 

Статика твердого тела

 

 

Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

 

Основные понятия и законы статики

 

·         Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.

·         Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.

·         Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.

·         Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.

·         Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).

·         Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила — действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.

·         Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.

·         Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.

·         Сила – это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон.

·         Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.

·         Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.

·         Распределенные силы (распределенная нагрузка) – это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
Размерность распределенной нагрузки – Н/м3 (Н/м2, Н/м).

·         Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.

·         Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.

·         Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.

·         Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.

·         Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.

·         Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.

·         Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.

·         Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
Принятое обозначение: Описание: Описание: Описание: (vec{F_1},~vec{F_2},~...,~vec{F_n}){doubleleftright}(vec{P_1},~vec{P_2},~...,~vec{P_m}).

·         Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.

·         Уравновешенная система сил – это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
Описание: Описание: Описание: (vec{F_1},~vec{F_2},~...,~vec{F_n}){doubleleftright}0.

·         Равнодействующая сила – это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
Описание: Описание: Описание: vec{R}{doubleleftright}(vec{F_1},~vec{F_2},~...,~vec{F_n}).

·         Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.

·         Пара сил – это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
Принятое обозначение: Описание: Описание: Описание: (vec{F},~vec{F{prime}}).
Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.

·         Проекция силы на ось – это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.

·         Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.

·         Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

·         Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
Эти две силы называются уравновешивающимися.
Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое.

·         Закон 3. Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.

·         Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
диагонали.
По модулю равнодействующая равна:
Описание: Описание: Описание: R=sqrt{{F_1}^2+{F_2}^2+2*{F_1}*{F_2}*cos(hat{{F_1},{F_2}})}

·         Закон 5 (закон равенства действия и противодействия). Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
Следует иметь в виду, что действие — сила, приложенная к телу Б, и противодействие — сила, приложенная к телу А, не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам.

·         Закон 6 (закон отвердевания). Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела.

·         Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.

Связи и их реакции

·         Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.

·         Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.

·         Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

·         Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.

·         Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Момент силы относительно точки

·         Абсолютное значение момента равно произведению модуля силы на кратчайшее расстояние h от центра вращения до линии действия силы. Расстояние h называют плечом силы.
Описание: Описание: Описание: {M_0}(vec{F})=F*h

·         Момент считают положительным, если сила стремится вращать плечо h против хода часовой стрелки и отрицательным при вращении по ходу часовой стрелки.

·         Свойства момента силы относительно точки:
1) Момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль линии действия силы.
2) Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через точку приложения силы.
3) Момент равнодействующей силы относительно точки равен сумме моментов слагаемых сил относительно этой точки.
Описание: Описание: Описание: {M_0}(vec{R})={M_0}(vec{F_1})+{M_0}(vec{F_2}),
где Описание: Описание: Описание: vec{R}=vec{F_1}+vec{F_2}

Момент силы относительно оси

·         Момент силы относительно оси — это момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.
Момент считается положительным, если с положительного конца оси поворот, который сила стремится совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.
Описание: Описание: Описание: {M_z}(vec{F})={M_0}(vec{F_{xy}})={F_{xy}}h

·         Чтобы найти момент силы относительно оси, нужно:
1) Провести плоскость перпендикулярную оси z.
2) Спроецировать силу 
Описание: Описание: Описание: vec{F} на эту плоскость и вычислить величину проекции Описание: Описание: Описание: F_{xy}.
3) Провести плечо h из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции силы 
Описание: Описание: Описание: F_{xy} и вычислить его длину.
4) Найти произведение этого плеча и проекции силы с соответствующим знаком.

·         Свойства момента силы относительно оси.
Момент силы относительно оси равен нулю, если:
1) Описание: Описание: Описание: F_{xy}=0, то есть сила Описание: Описание: Описание: vec{F} параллельна оси.
2) h=0, то есть линия действия силы пересекает ось.

Момент пары сил

·         Момент пары сил равен произведению одной силы на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары, которое называется плечом пары (пара сил оказывает на тело вращающее действие)
Описание: Описание: Описание: M(vec{F},vec{F})=Fh,
где: Описание: Описание: Описание: vec{F},vec{F} — силы, составляющие пару;
h — плечо пары.
Момент пары считают положительным, если силы стремятся вращать плечо против хода часовой стрелки.

·         Свойства пары сил.
1) Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю.
2) Не изменяя момента пары можно одновременно соответственно изменять значение сил и плечо пары.
3) Пару можно переносить в плоскости ее действия при этом действие пары на тело не изменится.

Преобразование сходящейся системы сил

·         Равнодействующая Описание: Описание: Описание: vec{R} двух сходящихся сил находится на основании аксиомы о параллелограмме сил.
Геометрическая сумма любого числа сходящихся сил может быть определена путем последовательного сложения двух сил – способ векторного многоугольника.
Вывод: система сходящихся сил (Описание: Описание: Описание: vec{F_n}) приводится к одной равнодействующей силе Описание: Описание: Описание: vec{R}.

·         Аналитически равнодействующая сила может быть определена через ее проекции на оси координат:
Описание: Описание: Описание: R=sqrt{{R_x}^2+{R_y}^2{R_z}^2}
Согласно теореме: проекция равнодействующей на ось равна сумме проекций слагаемых сил на эту ось: Описание: Описание: Описание: R_x=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}, или в общем виде Описание: Описание: Описание: F_{kx}={Sigma}F_{kx}
С
учетом Описание: Описание: Описание: F_{kx}={Sigma}F_{kx} равнодействующая определяется выражением:
Описание: Описание: Описание: R=sqrt{({{Sigma}F_{kx}})^2+({{Sigma}F_{ky}})^2+({{Sigma}F_{kz}})^2}.

·         Направление вектора равнодействующей определяется косинусами углов между вектором Описание: Описание: Описание: vec{R} и осями x, y, z:
Описание: Описание: Описание: cos{alpha}={{Sigma}F_{kx}}/R;~cos{beta}={{Sigma}F_{ky}}/R;~cos{gamma}={{Sigma}F_{kz}}/R

Преобразование произвольной системы сил

·         Теорема: силу, приложенную к твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, перенести параллельно в другую точку тела, прибавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, в которую она переносится.
В результате указанного преобразования получается сходящаяся система сил и сумма моментов пар сил. Действие сходящейся системы сил заменяют действием суммарной силы, действие моментов — суммарным моментом.
Суммарный вектор Описание: Описание: Описание: vec{R} — это главный вектор системы сил.
Суммарный момент Описание: Описание: Описание: M_0{(vec{F_k})} — это главный момент системы сил.
Вывод: произвольная система сил в результате тождественного преобразования приводится к главному вектору и главному моменту системы сил.

·         Аналитически главный вектор и главный момент системы сил могут быть определены через их проекции на оси координат:
Описание: Описание: Описание: R=sqrt{({{Sigma}R_{kx}})^2+({{Sigma}R_{ky}})^2+({{Sigma}R_{kz}})^2},
Описание: Описание: Описание: M=sqrt{({{Sigma}M_{kx}})^2+({{Sigma}M_{ky}})^2+({{Sigma}M_{kz}})^2}

Условия равновесия систем сил

·         Равновесие системы сходящихся сил
Действие системы сходящихся сил эквивалентно действию одной равнодействующей силы.
Для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю Описание: Описание: Описание: vec{R}=0.
Из формулы Описание: Описание: Описание: R=sqrt{({{Sigma}F_{kx}})^2+({{Sigma}F_{ky}})^2+({{Sigma}F_{kz}})^2} следует, что для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси X,Y,Z равнялась нулю:
Описание: Описание: Описание: delim{}{matrix{3}{3}{{{Sigma}F_{kx}} {=} {0~} {{Sigma}F_{ky}} {=} {0~} {{Sigma}F_{kz}} {=} {0~}}}{rbrace}

·         Для равновесия плоской сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси X,Y равнялась нулю:
Описание: Описание: Описание: delim{}{matrix{2}{3}{{{Sigma}F_{kx}} {=} {0~} {{Sigma}F_{ky}} {=} {0~}}}{rbrace}

Равновесие произвольной системы сил.

·         Действие произвольной системы сил эквивалентно действию главного вектора и главного момента. Для равновесия необходимо и достаточно выполнения условия:
Описание: Описание: Описание: delim{}{matrix{2}{3}{{vec{R}} {=} {0~} {M_0{(vec{F_k})}} {=} {0~}}}{rbrace}.

·         Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси X,Y,Z и суммы моментов всех сил относительно осей X,Y,Z равнялись нулю:
Описание: Описание: Описание: delim{}{matrix{6}{3}{{{Sigma}F_{kx}} {=} {0~} {{Sigma}F_{ky}} {=} {0~} {{Sigma}F_{kz}} {=} {0~}{{Sigma}M_x{(vec{F_k})}} {=} {0~} {{Sigma}M_y{(vec{F_k})}} {=} {0~} {{Sigma}M_z{(vec{F_k})}} {=} {0~}}}{rbrace}

·         Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций главного вектора на оси X,Y, и алгебраическая сумма моментов сил относительно центра О были равны нулю:
Описание: Описание: Описание: delim{}{matrix{3}{3}{{{Sigma}F_{kx}} {=} {0~} {{Sigma}F_{ky}} {=} {0~} {{Sigma}M_0{(vec{F_k})}} {=} {0~}}}{rbrace}

 

 

 

Кинематика

 

 

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

Основные понятия кинематики

·         Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.

·         Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.

·         Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.

·         Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).

Способы задания движения точки

·         Задать движение точки — значит задать изменение ее положения по отношению к выбранной системе отсчета. Существуют три основные системы отсчета: векторная, координатная, естественная.

·         В векторной системе положение точки относительно начала отсчета задается радиус-вектором.
Закон движения: Описание: Описание: Описание: overline{r}=overline{r}(t).

·         В системе координат OXYZ положение точки задается тремя координатами X, Y, Z.
Закон движения: x = x(t), y = y(t); z = z(t).

·         В естественной системе отсчета положение точки задается расстоянием S от начала отсчета до этой точки вдоль траектории.
Закон движения: Описание: Описание: Описание: overline{s}=overline{s}(t).
Движение точки, при естественном способе задания движения, определено если известны:
1) Траектория движения.
2) Начало и направление отсчета дуговой координаты.
3) Уравнение движения.
При естественном способе задания движения, в отличии от других способов, используются подвижные координатные оси, движущиеся вместе с точкой по траектории. Такими осями являются:
Касательная (τ) – направлена в сторону возрастания дуговой координаты по касательной к траектории.
Главная нормаль (n) – направлена в сторону вогнутости кривой.
Бинормаль (b) – направлена перпендикулярно к осям τ, n.

Определение кинематических характеристик точки

·         Траектория точки
В
векторной системе отсчета траектория описывается выражением: Описание: Описание: Описание: overline{r}=overline{r}(t).
В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
В естественной системе отсчета траектория задается заранее.

·         Определение скорости точки в векторной системе координат
П
ри задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени Описание: Описание: Описание: {Delta}t называют средним значением скорости на этом интервале времени: Описание: Описание: Описание: vec{V_cp}={Delta{vec{r}}}/{{Delta}t}.
Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): Описание: Описание: Описание: overline{V}=lim{{Delta}t{right}0}{{Delta{overline{r}}}/{{Delta}t}}={d{overline{r}}}/{{Delta}t}.
Вектор средней скорости Описание: Описание: Описание: overline{V_cp} направлен вдоль вектора Описание: Описание: Описание: {Delta{overline{r}}} в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости Описание: Описание: Описание: overline{V} направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.

·         Определение скорости точки в координатной системе отсчета
Скорости изменения координат точки
:
Описание: Описание: Описание: V_x={{Delta}x}/{{Delta}t};~V_y={{Delta}y}/{{Delta}t};~V_z={{Delta}z}/{{Delta}t}.
Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
Описание: Описание: Описание: V=sqrt{{V_x}^2+{V_y}^2+{V_z}^2}.
Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
Описание: Описание: Описание: cos{alpha}={V_x}/V;~cos{beta}={V_y}/V;~cos{gamma}={V_z}/V,
где Описание: Описание: Описание: {alpha};~{beta};~{gamma} — углы между вектором скорости и осями координат.

·         Определение скорости точки в естественной системе отсчета
Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: Описание: Описание: Описание: V={dS}/{dt}.
Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях Описание: Описание: Описание: {tau}_{nb} определяется только одной проекцией Описание: Описание: Описание: V_{tau}.

Ускорение точки

·         По определению ускорение характеризует изменение скорости, то есть скорость изменения скорости.

·         Ускорения точки в векторной системе отсчета
Н
а основании свойства производной:
Описание: Описание: Описание: overline{a}={d{overline{V}}}/{dt}.
Вектор скорости может изменяться по модулю и направлению.
Вектор ускорения направлен по линии приращения вектора скорости, т. е. в сторону искривления траектории.

·         Ускорение точки в координатной системе отсчета
Ускорение изменения координат точки равно производной по времени от скоростей изменения этих координат:
Описание: Описание: Описание: a_x={dV_x}/{dt};~a_y={dV_y}/{dt};~a_z={dV_z}/{dt}.
Полное ускорение в прямоугольной системе координат будет определяться выражением:
Описание: Описание: Описание: a=sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2+{a_z}^2}.
Направляющие косинусы вектора ускорения:
Описание: Описание: Описание: cos{alpha}={a_x}/a;~cos{beta}={a_y}/a;~cos{gamma}={a_z}/a.

·         Ускорение точки в естественной системе отсчетаПриращение вектора скорости Описание: Описание: Описание: d{overline{V}} можно разложить на составляющие, параллельные осям естественной системы координат:
Описание: Описание: Описание: d{overline{V}}=d{overline{V_{tau}}}+d{overline{V_n}}.
Разделив левую и правую части равенства на dt, получим:
Описание: Описание: Описание: overline{a}=overline{a_{tau}}+overline{a_n},
где Описание: Описание: Описание: overline{a_{tau}}={dV}/{dt} — тангенциальное ускорение;
Описание: Описание: Описание: overline{a_n}={V^2}/R — нормальное ускорение;
R — радиус кривизны траектории в окрестности точки.

Кинематика твердого тела

·         В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
2) определение кинематических характеристик точек тела.

·         Поступательное движение твердого тела
Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки.

·         Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
Положение тела определяется углом поворота Описание: Описание: Описание: varphi. Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит  радиана.)
Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси Описание: Описание: Описание: varphi=varphi(t).
Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
Описание: Описание: Описание: omega={d{varphi}}/{dt} — угловая скорость, рад/с;
Описание: Описание: Описание: varepsilon={d{omega}}/{dt} — угловое ускорение, рад/с².
Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М, то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R. За время dt происходит элементарный поворот на угол Описание: Описание: Описание: d{varphi}, при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние Описание: Описание: Описание: ds=R*{d{varphi}}.
Модуль линейной скорости:
Описание: Описание: Описание: V={ds}/{dt}=R*{{d{varphi}}/{dt}}=R*{omega}.
Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим Описание: Описание: Описание: overline{a}=overline{a_{tau}}+overline{a_n}:
Описание: Описание: Описание: a=sqrt{{a_{tau}}^2+{a_n}^2},
где Описание: Описание: Описание: overline{a_{tau}}={dV}/{dt};~overline{a_n}={V^2}/R.
В итоге, получаем формулы
тангенциальное ускорение: Описание: Описание: Описание: a_{tau}={dR*{omega}}/{dt}=R*{varepsilon};
нормальное ускорение: Описание: Описание: Описание: a_n={(R*{omega})^2}/R=R*{omega}^2.

Плоско-параллельное движение твердого тела

·         Плоско-параллельное движение твердого тела — это движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных одной неподвижной плоскости.
Движение сечения S в своей плоскости можно рассматривать как сложное, состоящее из двух элементарных движений:
1) поступательного и вращательного;
2) вращательного относительно подвижного (мгновенного) центра.

·         В первом варианте движение сечения может быть задано уравнениями движения одной его точки (полюса) и вращением сечения вокруг полюса.
В качестве полюса может быть принята любая точка сечения.
Уравнения движения запишутся в виде:
Описание: Описание: Описание: delim{}{matrix{3}{3}{{X_A} {=} {{X_A}(t)~} {Y_A} {=} {{Y_A}(t)~} {{varphi}_A} {=} {{{varphi}_A}(t)~}}}{rbrace}.
Ускорение точки движущейся плоской фигуры складывается из ускорения полюса относительно неподвижной системы отсчета и ускорения за счет вращательного движения вокруг полюса.
Описание: Описание: Описание: vec{V_B}=vec{V_A}+vec{V_BA}
Описание: Описание: Описание: vec{a_B}=vec{a_A}+vec{a_BA}

·         Во втором варианте движение сечения рассматривается как вращательное вокруг подвижного (мгновенного) центра P.
В этом случае скорость любой точки В сечения будет определяться по формуле для вращательного движения:
Описание: Описание: Описание: V_b=delim{|}{PB}{|}*{{omega}_p}.
Угловая скорость вокруг мгновенного центра Р может быть определена если известна скорость какой либо точки сечения, например точки А.
Описание: Описание: Описание: {omega}_p={V_A}/{delim{|}{PB}{|}}.

·         Положение мгновенного центра вращения может быть определено на основании следующих свойств:
1) вектор скорости точки перпендикулярен радиусу;
2) модуль скорости точки пропорционален расстоянию от точки до центра вращения (Описание: Описание: Описание: V={omega}*R);
3) скорость в центре вращения равна нулю.

·         Теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, проведенную через эти точки, равны между собой и одинаково направлены.
Доказательство: расстояние АВ изменяться не может, следовательно, Описание: Описание: Описание: {V_A}*cos{alpha} не может быть больше или меньше Описание: Описание: Описание: {V_B}*cos{beta}.
Вывод: Описание: Описание: Описание: {V_A}*cos{alpha}={V_B}*cos{beta}.

Сложное движение точки

·         Относительное движение — это движение точки относительно подвижной системы.
Переносное движение — это движение точки вместе с подвижной системой.
Абсолютное движение — это движение точки относительно неподвижной системы.
Соответственно называют скорости и ускорения:
Описание: Описание: Описание: vec{V_r},~vec{a_r} — относительные;
Описание: Описание: Описание: vec{V_e},~vec{a_e} — переносные;
Описание: Описание: Описание: vec{V},~vec{a} — абсолютные.

·         Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей (согласно теореме о сложении скоростей):
Описание: Описание: Описание: vec{V}=vec{V_r}+vec{V_e}.
Абсолютное значение скорости определяется по теореме косинусов:
Описание: Описание: Описание: V=sqrt{{V_r}^2+{V_e}^2+2*{V_r}*{V_e}*cos{alpha}}.

·         Ускорение по правилу параллелограмма определяется только при поступательном переносном движении
Описание: Описание: Описание: vec{a}=vec{a_r}+vec{a_e}.
Описание: Описание: Описание: a=sqrt{{a_r}^2+{a_e}^2+2*{a_r}*{a_e}*cos{alpha}}.

·         При непоступательном переносном движении появляется третья составляющая ускорения, называемое поворотным или кориолисовым.
Описание: Описание: Описание: vec{a}=vec{a_r}+vec{a_e}+vec{a_k},
где Описание: Описание: Описание: vec{a_k}=2*vec{{omega}_e}*vec{V_r}.
Кориолисово ускорение численно равно:
Описание: Описание: Описание: a_k=2*{{omega}_e}*{V_r}*cos{alpha},
где Описание: Описание: Описание: alpha – угол между векторами Описание: Описание: Описание: {{omega}_e} и Описание: Описание: Описание: vec{V_r}.
Направление вектора кориолисова ускорения удобно определять по правилу Н.Е. Жуковского: вектор Описание: Описание: Описание: vec{V_r} спроектировать на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, проекцию повернуть на 90 градусов в сторону переносного вращения. Полученное направление будет соответствовать направлению кориолисова ускорения.

 

 

Динамика

 

 

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

Основные понятия динамики

·         Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.

·         Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).

·         Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.

·         Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:
Описание: Описание: Описание: X_C={{Sigma}m_k*x_k}/m;~Y_C={{Sigma}m_k*y_k}/m;~Z_C={{Sigma}m_k*z_k}/m;
где mk, xk, yk, zk — масса и координаты k-той точки механической системы, m — масса системы.
В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.

·         Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
Описание: Описание: Описание: J_Z=m*r^2.
Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
Описание: Описание: Описание: J_Z={Sigma}m_k*{r_k}^2

·         Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения: Описание: Описание: Описание: {vec{F^u}}={-m}vec{a}

·         Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: Описание: Описание: Описание: {vec{F^u}}={-m}vec{a_c},
где Описание: Описание: Описание: a_c — ускорение центра масс тела.

·         Элементарный импульс силы — это векторная величина Описание: Описание: Описание: d{vec{S}}, равная произведению вектора силы Описание: Описание: Описание: vec{F}на бесконечно малый промежуток времени dt:
Описание: Описание: Описание: d{vec{S}}=vec{F}*dt.
Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
Описание: Описание: Описание: d{vec{S}}=int{0}{t}{vec{F}*dt}.

·         Элементарная работа силы — это скалярная величина dA, равная скалярному произведению вектора силы Описание: Описание: Описание: vec{F} на бесконечно малое перемещение Описание: Описание: Описание: d{vec{s}}.
Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между направлениями векторов:
Описание: Описание: Описание: dA=F*ds*cos{alpha},
где α — угол между направлениями векторов перемещения и силы.

·         Работа силы Описание: Описание: Описание: vec{F} на конечном перемещении точки её приложения равна интегралу от элементарной работы, взятому по перемещению:
Описание: Описание: Описание: A=int{0}{s}{F*cos{alpha}*ds}.
Единица измерения работы — Джоуль (1 Дж = 1 Н·м).

·         Количество движения материальной точки — это векторная величина Описание: Описание: Описание: vec{q}, равная произведению массы m на её скорость Описание: Описание: Описание: vec{V}:
Описание: Описание: Описание: vec{q}=m*{vec{V}}.

·         Количество движения механической системы равно векторной сумме количества движения её точек.
Описание: Описание: Описание: vec{Q}={Sigma}m_k*{vec{V_k}} или
Описание: Описание: Описание: vec{Q}=m*{vec{V_C}},
где m — масса механической системы, Описание: Описание: Описание: vec{V_C} — вектор скорости центра масс системы.

·         Кинетическая энергия материальной точки — это скалярная величина Т, равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости:
Описание: Описание: Описание: T={m*v^2}/2.

·         Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех её точек:
Описание: Описание: Описание: T={Sigma}T_k.

Аксиомы динамики

·         Первая аксиома — это закон инерции.
Если на свободную материальную точку не действуют никакие силы или действует уравновешенная система сил, то точка будет находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

·         Вторая аксиома — закон пропорциональности ускорения.
Ускорение, сообщаемое материальной точке действующей на неё силой, пропорционально этой силе и по направлению совпадает с направлением силы: Описание: Описание: Описание: m*vec{a}=vec{F} — это основной закон динамики.

·         Третья аксиома — это закон противодействия.
Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки, равны по модулю и направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны:
Описание: Описание: Описание: vec{F_{21}}={-}vec{F_{12}}.

·         Четвертая аксиома — закон независимости действия сил.
При действии на материальную точку системы сил полное ускорение этой точки равно геометрической сумме ускорений от действия каждой силы:
Описание: Описание: Описание: m*vec{a}={Sigma}vec{F_k}

Дифференциальные уравнения динамики

·         Дифференциальные уравнения движения точки связывают ускорение точки с действующими на нее силами. Фактически дифференциальные уравнения являются записью основного закона динамики в явной дифференциальной форме.
Для абсолютного движения точки (движение в инерциальной системе отсчета) дифференциальное уравнение имеет вид:
Описание: Описание: Описание: m*{{d{vec{V}}}/{dt}}={Sigma}vec{F_k}.

·         Векторное уравнение Описание: Описание: Описание: m*vec{a}={Sigma}vec{F_k} может быть записано в проекциях на оси прямоугольной инерциальной системы координат:
Описание: Описание: Описание: delim{}{matrix{3}{3}{{m*{{d{vec{V_x}}}/{dt}}} {=} {{Sigma}vec{F_k}~} {m*{{d{vec{V_y}}}/{dt}}} {=} {{Sigma}vec{F_k}~} {m*{{d{vec{V_z}}}/{dt}}} {=} {{Sigma}vec{F_k}~}}}{rbrace}

·         При известной траектория движения точки уравнение Описание: Описание: Описание: m*{{d{vec{V}}}/{dt}}={Sigma}vec{F_k} может быть записано в проекциях на оси естественной системы координат:
Описание: Описание: Описание: delim{}{matrix{2}{3}{{m*a_{tau}} {=} {{Sigma}{F_{tau}}~} {m*a_{n}} {=} {{Sigma}{F_n}~}}}{rbrace}
С учетом того, что Описание: Описание: Описание: vec{a}=vec{a_{tau}}+vec{a_n},
где Описание: Описание: Описание: vec{a_{tau}}={dV}/{dt} — тангенциальное ускорение;
Описание: Описание: Описание: vec{a_n}={V^2}/R — нормальное ускорение,
уравнения примут вид:
Описание: Описание: Описание: delim{}{matrix{2}{3}{{m*{{dV}/{dt}}} {=} {{Sigma}{F_{tau}}~} {m*{{V^2}/R}} {=} {{Sigma}{F_n}~}}}{rbrace}

Общие теоремы динамики

·         Общие теоремы динамики устанавливают зависимость между мерами механического движения и механического взаимодействия. Выводы теорем являются результатом тождественного преобразования основного закона динамики.

·         Теорема об изменении количества движения: изменение количества движения материальной точки (механической системы) за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени Описание: Описание: Описание: {m}*vec{V}-{m}*vec{V_0}={Sigma}vec{S_k} — для материальной точки;
Описание: Описание: Описание: vec{Q}-vec{Q_0}={Sigma}vec{S_k} — для механической системы.

·         Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки (механической системы) при её перемещении равно сумме работ всех действующих внешних сил на этом перемещении Описание: Описание: Описание: {{m*{V_1}^2}/2}-{{m*{V_0}^2}/2}={Sigma}A(vec{F_k}) — для материальной точки;
Описание: Описание: Описание: T-T_0={Sigma}A(vec{F_k}) — для механической системы.

·         Кинетическая энергия механической системы определяется в соответствии с Описание: Описание: Описание: T={Sigma}T_k, при этом для твердых тел выведены следующие зависимости:
Описание: Описание: Описание: T={m*{V^2}}/2 — при поступательном движении тела;
Описание: Описание: Описание: T={{J_z}*{w^2}}/2 — при вращательном движении тела;
Описание: Описание: Описание: T={{m*{V^2}}/2}+{{J_z}*{w^2}}/2 — при плоско-параллельном движении тела.

·         Момент инерции цилиндра относительно его оси:
Описание: Описание: Описание: I_z={1/2}*m*R^2.

·         Момент инерции стержня относительно оси z:
Описание: Описание: Описание: I_z={1/3}*m*l^2.

·         Момент инерции прямоугольной пластины относительно осей х и y: Описание: Описание: Описание: I_z={1/3}*m*a^2.

·         Момент инерции шара определяется по формуле:
Описание: Описание: Описание: I_z={2/5}*m*R^2.

·         Работа силы тяжести:
Описание: Описание: Описание: A=P*h,
где P — сила тяжести;
h — изменение положения тела по вертикали.

·         Работа силы при вращательном движении тела
Описание: Описание: Описание: A=P*h,
где M — момент силы,
w — угловая скорость тела.
Следует иметь в виду, что работа, как скалярная величина, может быть положительной или отрицательной. Работа будет положительной если направление действия силы совпадает с направлением движения.

Принцип Даламбера

·         Формулировка принципа Даламбера: если в любой момент времени к действующим на точку силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной:
Описание: Описание: Описание: {Sigma}vec{F_k}+{Sigma}vec{{F_k}^u}=0.

·         Для механической системы:
Описание: Описание: Описание: delim{}{matrix{2}{5}{{{Sigma}vec{F_k}} {+} {{Sigma}vec{{F_k}^u}} {=} {0~} {{Sigma}vec{M}(vec{F_k})} {+} {{Sigma}vec{M}(vec{{F_k}^u})} {=} {0~}}}{rbrace}.

 

 

Примеры решения задач

 

Решение примеров по теме: «Статика твердого тела»

Пример 1. Условия равновесия

Описание: Описание: Описание: Рисунок к примеру 1. Задача на уравнения равновесия
Висящий на нити, под углом в сорок пять градусов к гладкой стене шар весом в десять Ньютон, находится в состоянии равновесия (рис. а). Необходимо определить давление однородного шара на гладкую стенку и натяжение нити.

Дано: P = 10 Н; α = 45°
Н
айти: N, T — ?

Решение.
Отбрасываем связи, а их действие на шар заменяем реакциями.
Реакция стенки N направлена перпендикулярно стенке (от точки касания С к центру шара О), реакция нити Т — вдоль нити от точки А к точке В.
Тем самым выявляется полная система сил, приложенных к покоящемуся шару.

Это система сил, сходящихся в центре О шара, и состоящая из веса шара Р (активная сила), реакции стенки N и реакции нити Т (рис. б).

Реакции N и Т по величине неизвестны. Для их определения следует воспользоваться условиями равновесия (в той или иной форме — геометрической, аналитической).

При геометрическом способе решения строится замкнутый многоугольник сил и используются соотношения школьной геометрии (теорема синусов, теорема косинусов, теорема Пифагора и т.д.).

В данном случае это замкнутый силовой треугольник (рис. в), из которого получаем:
Описание: Описание: Описание: N=P*tg{alpha};~T=P/{cos{alpha}}

После подстановки в формулы числовых значений, получим:
Описание: Описание: Описание: N=10*tg{45^{circ}}=10*1=10~H;~T=10/{cos{45^{circ}}}=10/{0,707}=14,142~H.

Ответ: Описание: Описание: Описание: N=10~H;~T=14,142~H.

Решение примеров по теме: «Кинематика»

Пример 2. Уравнение траектории точки

Дано:
Движение точки задано уравнениями Описание: Описание: Описание: x=2sint;~y=4cos{2t};
(x, у — в сантиметрах, t — в секундах).
Найти: уравнение траектории точки в координатной форме.

Решение. Для определения уравнения траектории из уравнений движения исключаем время t. Для этого из первого уравнения выражаем Описание: Описание: Описание: sint=x/2 и подставляем это значение во второе уравнение, преобразованное к функциям одинарного угла:
Описание: Описание: Описание: y=4cos{2t}=4({cos}^2{t}-{sin}^2{t})=4(1-2{sin}^2{t})=4(1-2{{x^2}/4})=4-2{x^2}.

Опуская промежуточные выражения, получаем уравнение траектории:
Описание: Описание: Описание: y=4-2x^2.

Описание: Описание: Описание: Рисунок к примеру 2. Уравнение траектории движения точкиУравнение определяет параболу, расположенную симметрично относительно оси у, с вершиной в точке (0, 4). Траекторией служит кусок этой параболы, заключенный между точками с координатами (-2, -4) и (2, -4).

Ответ: Описание: Описание: Описание: y=4-2x^2.

Решение примеров по теме: «Динамика»

Пример 3. Основной закон динамики точки

Свободная материальная точка, масса которой десять килограмм, движется прямолинейно с ускорением пол метра в секунду в квадрате. Определить силу, приложенную к точке.

Дано: m = 10 кг; a = 0,5 м/с2.
Найти: F — ?

Решение.
Согласно основному закону динамики: Описание: Описание: Описание: F=m*a.

Подставив значения в формулу, получим:
Описание: Описание: Описание: F=m*a=10*0,5=5~ H

Ответ: сила, сообщающая массе, равной 10 кг,
ускорение 0,5 м/с2, равна 5 Н.

 
В ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ

Формулы, правила, законы, теоремы, уравнения, примеры решения задач

·         Теоретические основы электротехники

·         Электрические машины

·         Высшая математика

 

 

 

Список литературы:

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах.
Буторин Л.В., Бусыгина Е.Б. Теоретическая механика. Учебно-практическое пособие.