Операции с матрицами:
программирование на C++
18. Преимущества
и недостатки арок по сравнению с балками
1. Для большинства строительных конструкций,
таких как перекрытия зданий, пролетные строения мостов и т.п. основной
нагрузкой является вертикальная нагрузка, направленная вниз. Легко убедиться,
что для такой нагрузки горизонтальные реакции в опорах арки будут направлены
навстречу друг другу, т.е. значение распора Н будет положительным (см.
например, “Пример расчета арки параболического очертания под действием
вертикальной нагрузки” и “Пример расчета арки с затяжкой”). Основным
достоинством арочных конструкций является то, что в этом случае, в соответствии
с формулой 
изгибающий момент в любом сечении арки
всегда меньше, чем в том же сечении соответствующей балки. За счет этого, а
также за счет действующих в арке продольных сжимающих усилий, растягивающие
напряжения в сечениях арки малы или отсутствуют (рис. 18.1). Это очень важно
для каменных и бетонных конструкций, которые, как известно, могут выдерживать высокие сжимающие
напряжения, но практически не работают на растяжение.
Рис. 18.1
2. Арочные конструкции отличаются большей
эстетичностью.
3. Балочные конструкции значительно более
технологичны с точки зрения изготовления, транспортировки и монтажа по
сравнению с арочными.
4. Арки передают на опоры значительные
горизонтальные усилия (рис. 18.2). В связи с этим, опоры арочных конструкций
должны быть достаточно мощными, чтобы воспринять эти усилия и передать их на
основание.
Рис. 18.2
Использование арок с затяжками позволяет
значительно уменьшить горизонтальные опорные реакции. Металлическую затяжку
применяют, например, для уменьшения нагрузок на пяту каменного свода (рис.
18.3).
Рис. 18.3
18.1. Арки рационального очертания
Арка рационального очертания - такая арка, в каждом сечении которой при
вертикальной нагрузке определенного вида изгибающий момент равен нулю. Чтобы 
в соответствии с необходимо добиться выполнения равенства 
, т.е. задать очертание арки по формуле
Поскольку в центральном шарнире 
из следует 
, т.е. 
.
Подставляя эту формулу в (18.1), получим:
Поскольку 
и f не зависят от координаты x, из (18.2) следует, что y(x) должна быть
пропорционально изгибающему моменту в балке, соответствующей рассматриваемой
арке.
В соответствии принципом суперпозиций с
увеличением нагрузки в k раз все силовые факторы, включая 
и 
, также должны увеличится в k раз, а значит соотношение 
не изменится при пропорциональном
изменении нагрузки. Таким образом, если очертание арки y(x) выполнено в соответствии с формулой (18.2) для какой-то нагрузки,
то и при пропорциональном ее увеличении или уменьшении моментов в арке не
возникнет. Другое дело, если изменится вид нагрузки, например, равномерно
распределенная нагрузка будет заменена сосредоточенными силами.
Итак, для построения арки рационального
очертания для нагрузки определенного вида достаточно построить эпюру
изгибающего момента в балке, соответствующей данной арке, и, задавшись
значением f, определить очертание арки по формуле (18.2). В
частности, рациональным очертанием для арки, загруженной равномерно
распределенной нагрузкой, будет параболическое очертание, поскольку изгибающий
момент в соответствующей балке меняется по закону параболы (рис. 18.4). На рис.
18.5 и рис. 18.6 приведены примеры арок рационального очертания для нагрузок других
видов.
Рис. 18.4
Рис. 18.5
Рис. 18.6