Технический перевод

Операции с матрицами: программирование на C++

Главная

10. Примеры расчёта ферм на неподвижную нагрузку

Пример 1. Выполним статический расчет фермы, изображенной на рис.10.1.

Рис. 10.1

Решение. Для данной фермы n_ст =17, n_узл =10, n_оп.св =3. Условие n_ст=2∙n_узл - n_оп.св выполняется: 17=10∙2-3=17. Следовательно, необходимое условие статической неопределимости и геометрической неизменяемости фермы выполняется.

Теперь исследуем правильность расстановки связей в ферме. Данная ферма образована двумя жесткими дисками. Контур первого из них ограничен узлами 1,4,6,5,2. Действительно, жесткий диск образован тремя шарнирными треугольниками, к которым двумя стержнями, не лежащими на одной прямой, присоединен узел 5. Второй диск, контур которого ограничен узлами 6,8,7,10,9, также образован тремя шарнирными треугольниками, т.е. представляет собой простейшую ферму. Два диска соединены между собой тремя связями, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке,- в узле 6 и стержнем 5-7. Таким образом, вся конструкция также представляет собой жесткий диск. Он прикреплен к основанию тремя связями, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке. Следовательно, на основе структурного анализа можно сделать вывод, что данная ферма является геометрически неизменяемой.

Определим опорные реакции в ферме. Горизонтальная нагрузка на систему отсутствует, следовательно горизонтальная реакция в левой опоре равна нулю H₁ = 0. Поскольку данная ферма симметрична и находится под действием симметричной нагрузки, очевидно, вертикальные реакции V₁ и V₁₀ должны быть равными. Найдем их из уравнения проекций всех действующих на систему сил на вертикальную ось: V₁+V₁₀ = 3∙20 кН. Следовательно, V₁=V₁₀ = 30 кН.

Теперь приступим к определению усилий в стержнях фермы. Прежде всего выделим нулевые стержни. Из рассмотрения узла 5 на основании признака 2 нулевых стержней следует, что стержень 5-6 нулевой.

Мысленно рассечем ферму сечением, изображенным на рис. 10.2 и рассмотрим равновесие левой части. Напомним, что положительное значение продольного усилия соответствует растяжению стержня, а отрицательное - сжатию. Поэтому при составлении уравнений равновесия будем считать неизвестные стержневые усилия растягивающими.

Из уравнения моментов относительно точки А: 30кН ∙4м - 20кН ∙ 2м + N_2-5 ∙2м = 0 находим N_2-5 = -40 кН, а из уравнения моментов относительно точки В (ее положение легко определяется из подобия треугольников А43 и АВС) 30кН ∙ 8м - 20кН ∙ 6м - N_3-6 ∙ 2м = 0  находим N_3-6 = 60кН.

Рис. 10.2

Усилие N_4-6 можно определить из уравнения проекций всех сил на вертикальную ось 30кН - 20кН + N_4-6 ∙sinα = 0. Угол α можно определить, например, из треугольникаАВС:

Следовательно,

Усилия в остальных стержнях левой половины фермы можно найти, например вырезанием узлов 2, 3 и 4.

Рис. 10.3

Рассмотрим равновесие узла 2 (рис.10.3). Он соединяет три стержня, но в одном из них усилие уже найдено - усилие в стержне 2-5 является сжимающим и равно 40кН. Следовательно, двух уравнений равновесия  этого узла будет достаточно, чтобы определить усилия в двух других стержнях. Из треугольника 123 следует, что β = 45°. Составим уравнения проекций сил на горизонтальную и вертикальную оси: N_1-2∙cos45°+40 кН =0 и N_1-2∙sin45°+N_2-3=0. Сопоставляя эти два уравнения, учитывая, что sin45°=cos45°, получим: N_2-3 = 40 кН и

Рис. 10.4

Рассмотрим равновесие узла 4 (рис. 10.4). Он также соединяет три стержня, но в одном из них усилие уже найдено - усилие в стержне 4-6 является сжимающим и равно 22,361 кН. Следовательно, двух уравнений равновесия  этого узла будет достаточно, чтобы определить усилия в двух других стержнях. Из уравнения проекций сил на горизонтальную ось 22,361 кН∙cos26,565°+N_1-4∙cos26,565°=0  следует: N_1-4 = -22,361кН.

Из уравнения проекций сил на вертикальную ось

-22,361 кН∙sin26,565°+N_1-4∙sin26,565°+N_3-4=0  следует: N_3-4 =2 ∙22,361кН∙ sin26,565⁰ = 22,361кН ∙ 0,4472 ∙ 2 = 20кН.

Рис. 10.5

Теперь рассмотрим равновесие узла 3 (рис.10.5). Усилия в трех стержнях из четырех, соединяющихся в этом узле, уже известны. Из уравнения проекций всех сил на горизонтальную ось находим N_1-3 = 60кН. Запишем уравнение проекций сил на вертикальную ось: 40кН=20кН+20кН. Полученное равенство является истинным, что подтверждает правильность полученных значений усилий в стержнях ферм.

Итак, значения усилий в стержнях левой половины фермы определены. Усилия в стержнях на правой половине фермы находятся исходя из симметрии фермы и симметричности приложенной к ней нагрузки. Значения усилий (кН), определенные в результате расчета, приводятся на рис.10.6.

Рис. 10.6

Проверки правильности определения усилий в стержнях фермы также можно осуществить вырезанием узлов или использованием способа сечений.

Пример 2. Выполним статический расчет фермы, изображенной на рис.10.7 двумя методами.

Рис. 10.7

Решение.

1. Выполним статический расчет фермы методом вырезания узлов.

Вырезаем узел круговым сечением, в котором имеется 2 неизвестных усилия, поскольку для сходящейся системы сил мы имеем 2 уравнения статики. Первым таким узлом будет узел 4.

Рис. 10.8

Узел 4 (рис. 10.8, а). Усилия направляем всегда от узла.

Σx=0;    -N_4-3 - N_4-5∙cosα=0.

Σy=0;     8 + N_4-5∙sinα=0.

Из геометрии фермы следует:

 (Значения sinα и cosα найдены из прямоугольного треугольника с узлами 3 – 4 – 5).

Тогда из второго уравнения находим вначале

N_4-5= -17,89 кН.

Из первого уравнения

N_4-3= 16,00 кН.

Рассмотрим  узел  3.

Для этого узла уместно вспомнить правило: если в узел сходятся 4 усилия (стержня),  попарно  лежащие  на одной прямой (N_2-3 и N_3-4;  5 кН и N_3-5), то усилия в этих стержнях равны между собой по величине и по знаку, т. е.

N_2-3=N_3-4= 16,00 кН;

N_3-5= -5 кН.

Следовательно, узел 3 мы не вырезаем.

Вырезаем узел 5 (рис. 10.8, б).

Σx=0;      -N_5-6∙cosα + N_5-2∙cosα + N_4-5∙cosα = 0,

или

N_5-6 + N_5-2 = -17,89 кН.

Σy=0;      -N_5-6∙sinα - N_5-2∙sinα + N_5-3 + 6 – N_4-5∙sinα = 0,

или

N_5-6 - N_5-2 = -42,498 кН.

Решая совместно полученные 2 уравнения

N_5-6 + N_5-2 = -17,89 кН.

N_5-6 - N_5-2 = -42,498 кН, находим

N_5-6 = -30,194 кН.

N_5-2 = +12,304 кН.

Вырезаем узел 2 (рис. 10.9).

Рис. 10.9 Рис. 10.10

Σx=0; N_2-1 – N_2-3 – N_5-2∙cosα = 0.

Σy=0;     N_2-6 +10 + N_5-2∙sinα = 0.

Из первого уравнения определяем

N_2-1 = N_2-3 + N_5-2∙cosα = 16 +12,304∙0,894 = 27 кН.

Из второго:

N_2-6 = -10 – N_5-2∙sinα = -10 – 12,304∙0,447 = -5,50 кН.

Узел 6 (рис. 10.10).

Σx=0;    N_6-7∙cosα + N_6-1∙cosβ – N_6-5∙cosα = 0,

Или

cosβ=0,707 (как угол 45°).

Σy=0; -N_6-7∙sinα + N_6-5∙sinα + N_6-2 + N_6-1∙sinβ = 0,

или

Приведем подобные и получим:

N_6-7 + 0,791∙N_6-1 = -30,194;

-N_6-7 +1,582∙N_6-1 = 64,869.

Из решения полученной системы:

N_6-1 = 14,612 кН;

N_6-7 = -41,752 кН.

Узел 1 (рис. 10.11).

Рис. 10.11                                  Рис. 10.12

Σx=0;    H₁ + N_1-2 + N_1-6∙cosβ = 0,

или

H₁ = -27 -14,612∙0,707 = - 37,330 кН.

Направлением реакции Н₁ мы ошиблись.

Σy=0;     N_1-7 + N_1-6∙sinα = 0,

или

N_1-7 = -10,331 кН.

Последний вырезается узел 7 (рис.  10.12).

Σx=0;       H₇ + N_7-6∙cosα = 0;

H₇ = 41,752∙0,894 = 37,326 кН.

Σy=0;        R₇ + N_1-7 + N_7-6∙sinα = 0;

R₇ = 10,331 +41,752∙0,447 =28,994 кН.

Как видим, для консольной фермы опорные реакции могут определяться в последнюю очередь.

2. Выполним статический расчет фермы методом сквозного сечения.

При таком подходе мы имеем три уравнения статического равновесия. Это позволяет проводить сечение, разрезая по трем неизвестным усилиям (стержням). Это могут быть сечения 1–1; 2–2; 3–3; 4–4; 5–5. Сечение 5-5 равносильно вырезанию узла 4.

Рассекая ферму, впоследствии можем рассматривать равновесие одной из ее полученных частей (правой или левой).

Сечение 1-1 (правая часть фермы – рис. 10.13).

Рис.10.13

Используя одно из уравнений статики, определим искомое усилие.

Усилие N_1-2

ΣM₆=0;    N_1-2∙4 - 5∙4 - 6∙4 - 8∙8 = 0; 

N_1-2 = 27 кН.

Усилие N_1-6

ΣM₄=0;   N_1-6∙h - 10∙8 - 5∙4 - 6∙4 = 0;

Усилие N_7-6

ΣM₂=0; N_7-6∙(12∙sinα) + 10∙4 + 5∙8 + 6∙8 + 8∙12 = 0;

Сечение 2-2 (правая часть фермы - рис.  10.14).

Усилие N_1-2 нами уже определено из сечения 1-1.

Усилие N_2-6

ΣM₄=0; N_2-6∙8 + 10∙8 + 5∙4 + 6∙4 = 0;

Рис.10.14

Усилие N_6-5.

ΣM₂=0;    N_6-5∙h - 5∙4 + 6∙4 +8∙8 =0;

Сечение 3-3 (вновь правая часть фермы – рис. 10.15).

Рис. 10.15

Усилие N_3-2.

ΣM₅=0;    N_3-2∙2 - 8∙4=0;

N_3-2=16 кН.

Усилие N_5-2.

ΣM₄=0;    N_5-2∙h - 5∙4 - 6∙4 =0;

Сравнивая значения усилий, вычисленные двумя способами, видим небольшую разницу, связанную с погрешностью вычислений (табл. 1).

Таблица 1

Усилия	N5-2	N3-2	N6-5	N2-6	N7-6	N1-6	N1-2
Метод вырезания узлов	12,304	16,0	-30,194	-15,50	-41,752	14,612	27,0
Метод сквозного сечения	12,304	16,0	-30,20	-15,50	-41,759	14,615	27,0

Пример 3. Определить усилия в стержнях фермы (рис.10.16), используя способ замкнутых сечений.

Рис. 10.16

Решение. Определив из условий равновесия (ΣX=0;  ΣM_A=0;  ΣM_B=0) опорные реакции, проведем замкнутое сечение, охватывающее узлы 1, 4, 5 (рис. 10.16), и рассмотрим равновесие части фермы, расположенной внутри этого сечения. При этом уравнения сумм моментов составим относительно точек m и n, лежащих на пересечении стержня 3-4 со стержнями 1-2 и 5-6 соответственно. Усилия в стержнях 3-6 и 2-6 в уравнения равновесия не войдут, так как эти стержни дважды пересекаются замкнутымсечением и усилия в них взаимно уравновешиваются.

ΣМ_m = 0: 1,5F ∙ 2a + N_5-6 ∙ 3a + F ∙ 2a = 0:     N_5-6 = -5F/3;

ΣМ_n = 0:  0,5F ∙ 3a + 1,5F ∙ 2a – F ∙ a +N_1-2 = 0:    N_1-2 = -7F/6;

ΣX = 0: -1,5F – N_3-4 = 0:   N_3-4 = -1,5F.

Используя полученные результаты, способом вырезания узлов можно определить усилия во всех остальных стержнях фермы.