Другие статьи

 

Операции с матрицами на C++.   Класс DMatrix

 


 

 

Self-similar processes in communications networks

(Самоподобные процессы в коммуникативных сетях)

 

Boris Tsybakov, Nicolas D. Georganas,  1998

 

 

3. Модель трафика и условия ее самоподобия

 

В этом разделе будет рассмотрена модель трафика пакетов Y. Модель была предложена в [21], отдельные ее проявления описаны в [7], [10], [13] и [20]. Мы сформулируем условия для строгого и асимптотического самоподобия трафика Y. Похожие концепции в [7], [13], [20] и [21] являются менее общими и подробными. В заключение мы рассмотрим другие известные модели самоподобного трафика.

 

3.1. Модель трафика пакетов

Рассматриваемый трафик Y будем считать потоком пакетов, имеющих одинаковую длину, принятую здесь за единицу времени. Пакеты связаны с источниками, трафик есть суперпозиция пакетов, генерируемых источниками. Описание структуры трафика начнем с  модели источников.

Источники будем нумеровать буквой s. Источник s начинает генерировать пакеты в момент времени ωs (источники пронумерованы по возрастанию времени, то есть ωs ≤ ωs+1). Момент времени ωs будем называть временем появления источника s. Источник s генерирует θs(i)I0 пакетов в моменты ωs + i – 1 в интервале времени ωs, …, ωs + τs – 1. Последовательность s(1), …, θss))называется активным периодом источника s, а τs – его длиной. До момента ωs и после момента ωs + τs – 1 источник s пакеты не генерирует, θs(i) = 0 при i < ωs и при i ωs + τs. Таким образом, θs(t ωs + 1), t I1 – последовательность количеств пакетов, генерируемых источником s в последовательные моменты времени.

Частными случаями активных периодов, например, могут быть:

1) константа θs(i) = R I1, 1 ≤ i ≤ τs,

2) случайная константа θs(i) = R, R зависит от τs, то есть R = Rs),

3) независимые и одинаково распределенные θs(i), принимающие значения 0 и 1 с вероятностями p0 и p1 соответственно,

4) независимые и одинаково распределенные θs(i), принимающие значения из множества {0, 1, …, k} с биномиальным распределением или из I0 с геометрическим, пуассоновским или каким-либо другим заданным распределением,

5) марковские, полумарковские или другие хорошо известные последовательности θs(i).

Момент t может быть временем появления сразу для нескольких источников. Пусть ξt обозначает число источников со временем появления t. Рассматриваемый трафик Y = (...,Y-1 ,Y0 ,Y1 , ... ) есть суперпозиция пакетов, генерируемых различными источниками:

 

 ,    .

 

Это значит, что Yt – общее число пакетов, генерируемых источниками, активными в момент t.

 

Предположим, что:

 

1. Активные периоды s(1), …, θss)) – независимые одинаково распределенные с. в. при различных s, иначе говоря, s, θs(1), …, θss)) – независимые одинаково распределенные с. в. при различных s. При условии τs = l такой период является отрезком стационарного в широком смысле случайного процесса, со значениями из множества неотрицательных целых чисел, определяемого числом l.

2. Количества появившихся источников, ξt, t I-∞, независимы и имеют одинаковое пуассоновское распределение    , где   - параметр пуассоновского распределения,   .

 

3. Активные периоды s(1), …, θss)) (или s, θs(1), …, θss))) независимы (в совокупности) от чисел ξt и моментов ωs. Числа ξt независимы (в совокупности) от моментов ωs.

 

В этих трех предположениях заключается специальная модель трафика пакетов Y, которую мы будем рассматривать. В [21] рассмотрен отдельный случай в рамках этой модели, когда периоды (θs(1), …, θs(τs)), τs = l  для любого s, являются отрезками стационарного в широком смысле случайного процесса, со значениями из множества неотрицательных целых чисел, независимых от l. (Имеется в виду модель Y(4) из [21]. Вследствие независимости от l модель Y(4) не может включать в себя модели Y(2) и Y(3) в качестве частных случаев). Специальный случай нашей модели, а именно - θs(i) = 1 для любого i и для любого s рассмотрен ранее в [7], [10], [13], [20].

 

Y = (…, Y-1, Y0, Y1, …) можно интерпретировать как маркированный точечный процесс с дискретным временем, у которого точками являются s (или ωs), а метками данной точки s(τs, θs(1), …, θs(τs)) или (θs(1), …, θs(τs)).

Процесс Y может быть разложен с помощью пуассоновского аргумента разложения на бесконечное число независимых процессов Y(l), l I1. Частный процесс Y(l) имеет ту же структуру, что и процесс Y, но с заданной длиной активного периода τs = l для всех его источников и с количеством источников, появившихся за время t, равным ξt,lпуассоновской случайной величине с параметром λl = E ξt,l = λ Pr(τ = l), где τ – символ, обозначающий τs в процессе Y.

Иначе говоря:

,   ,   .

 

Можно представить себе это разложение следующим образом.  В момент появления каждый источник отправляется к процессу Y(l) с вероятностью Pr(τs = l)независимо от других источников и от времен их прибытия. Если источник s отправлен к Y(l), то τs = l и этот источник имеет распределение, полученное из распределения для (θs(1), …, θs(τs)) у процесса Y при условии τs = l в качестве безусловного распределения активного периода у процесса Y(l).

В следующем пункте мы будем использовать разложение процесса Y для получения условий его самоподобия.

 

3.2. Условия самоподобия трафика Y

Наша цель – получить условия, при которых описанный в пункте 3.1 трафик пакетов самоподобен.

 

………………………………………………………………………………………………..

< далее не переведено >

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ЧИТАТЬ  СТАТЬЮ  ПОЛНОСТЬЮ