Операции с матрицами на C++. Класс DMatrix
Self-similar
processes in communications networks
(Самоподобные процессы в
коммуникативных сетях)
Boris Tsybakov, Nicolas D.
Georganas, 1998
ВВЕДЕНИЕ
Процессы с медленно убывающей зависимостью
и самоподобные процессы исследуются с середины XX века. Их изучают
экспериментально и описывают теоретически в удивительно многих сферах знания: в
астрономии, агрономии, химии, экономике, технике, в науке об окружающей среде,
геологии, гидрологии, математике, физике и статистике. Пионерские
математические работы в этой области принадлежат Колмогорову и Мандельброту.
Недавно эти процессы стали рассматривать
для моделирования трафика в современных компьютерных сетях. В частности,
самоподобные в широком смысле процессы были использованы для моделирования
телекоммуникационного трафика в локальных Ethernet-сетях с большим разрешением,
в глобальных сетях, а также для видеотрафика. Эти исследования обусловлены
экспериментально обнаруженной медленно убывающей зависимостью трафика и
«берстностью» потоков трафика на весьма широком спектре временных шкал.
Несмотря на растущий интерес к этой новой области, практически нет книг, в
которых бы детально рассматривались самоподобные в широком смысле процессы и их
свойства. Скудная литература по этой теме разбросана по годам, журналам и
газетам. Основное внимание в существующей литературе, ориентированной на
не-телекоммуникационные приложения, уделено самоподобным процессам с непрерывными значениями и временем, в то
время как для телекоммуникационных сетей характерны дискретные значения и время.
Кроме того, теория самоподобных в широком
смысле слова процессов не подготовлена для немедленного использования. Это
связано с тем, что, несмотря на существование концепций строгого и асимптотического
самоподобия в широком смысле, не существует общепринятых определений для таких
процессов.
Леланд в своих работах предлагал
использовать экономные модели самоподобного трафика. Такие модели (например,
имеющие всего 3 параметра – среднее, дисперсию и параметр Херста) образуют
весьма широкий класс. Вообще говоря, более экономные модели генерируют более
широкие классы. Проблема состоит в том, чтобы выделить из таких моделей узкие
субмодели, которые могли бы быть красиво математически описаны и физически
обусловлены.
Главная задача настоящей работы – кратко
показать и обсудить известные определения и свойства самоподобных в широком
смысле процессов с дискретным временем, добавить более общие условия
самоподобия, представить модель трафика в сетях ATM и найти условия самоподобия
для этой модели.
Второй раздел статьи содержит вновь
вводимые определения строго и асимптотически самоподобных в широком смысле
процессов. Приведены наиболее важные свойства этих процессов. Новшество
заключается в приведении некоторых неизвестных ранее доказательств и свойств, а
равно и в представлении всех этих свойств в
одной работе. Проводится сопоставление различных определений.
Третий раздел содержит модель трафика в
сетях ATM, необходимые и достаточные условия его строгого самоподобия и
достаточное условие его асимптотического самоподобия. Эти условия являются
более общими, чем все полученные ранее; они включают в себя ранее известные в
качестве частных случаев.
Мы обратимся также к предшествующим
статьям, имеющим отношение к нашей модели и обсудим некоторые другие известные
модели.
Доказательства результатов приведены в
Приложениях A-D. В статье мы
использовали концепции из теории медленных и регулярных вариаций Караматы.
Определения медленно и регулярно изменяющихся функций и последовательностей
даны в Приложении E. Другие используемые
факты из данной теории изложены в статье N. H. Bingham, C. M. Goldie, and J. L.
Teugels, "Regular Variation".