DMatrix - класс
для работы с матрицами на C++
О разрешимости дробно-линейных
дифференциальных уравнений в банаховых
пространствах.
(перевод Марата
Валиева)
Опишем множество начальных данных в абстрактной задачи Коши
для линейных
уравнений с дробной производной Капуто и неограниченным линейным замкнутым оператором
в банаховом пространстве X.
для которого соответствующие решения могут быть представлены
через функцию оператора Миттаг-Леффлера.
1.
Введение
Обыкновенные и частные уравнения дифференциального
порядка (с дробными производными Капуто, Римана-Лиувилля) разбудили в последние годы значительный интерес как в
математике, так и в приложениях. В математических трактатах по
дробно-дифференциальным уравнениям подход Римана-Лиувилля
к понятию дробной производной порядка 
обычно
используется так:
(1)
где
(2)
дробный
интеграл Римана-Лиувилля порядка 
. Дробная производная Римана-Лиувилля
левая обратная (и не правая обратная) к соответствующему дробному интегралу,
который является естественным обобщением
формулы Коши для 
й первообразной функции 
В
формулировании начального значения проблемы для обыкновенных (или задачи Коши
для частных) дифференциальных уравнений дробного порядка с дробными
производными в форме Римана-Лиувилля, начальные
условия даны в терминах дробных интегралов 
С другой
стороны, в области моделирования реальных процессов начальные условия, как
правило, выражаются через заданное число ограниченных начальных значений, принимаемых
переменной 
и ее
производных целого порядка. В целях удовлетворения физических требований Капуто ввел альтернативное определение дробно-дифференциальной
производной. Оно было принято Капуто и Маинарди в рамках теории линейной вязкоупругости:
(3)
В некоторых издания
производная Капуто при 
была названа регуляризованной дробной производной порядка .
Используя идеи, связанные с теорией первого и второго
порядка абстрактных дифференциальных уравнений, некоторые результаты были
получены для абстрактной задачи Коши для дробно-линейного дифференциального
уравнения
(4)
где
линейный неограниченный замкнутый оператор в банаховом пространстве 
. В статьях [2],[9] были даны необходимые и
достаточные условия разрешимости задачи Коши (4) при условии , расширяя условия
теоремы Хилле-Йосида от 
до 
. Условие 
было посчитано в [4]. В статье [10] были получены условия
разрешимости при 
для абстрактной задачи Коши (4) с дробной производной Римана-Лиувилля вместо
производной Капуто и начальных условий, данных в терминах дробных интегралов 
.
Другой, эквивалентный подход к задаче (4) состоит в
сужении данной задачи на преобразованное интегральное уравнение вида:
(5)
где
скалярное ядро.
Общая теория таких уравнений (так же при не скалярном
условии, т.е. 
и оператор 
зависит от 
) была представлена в [18]. Специальное условие для
ядра 
и
дифференциального оператора 
первого порядка
для 
,
второго порядка для в Гильбертовом пространстве
было посчитано подробно в [4],[20].
Последняя статья так же содержит исследования численных методов для этой
задачи.
Известно, что если 
или 
([12]) и
оператор может быть
представлен мультипликативной константой, единственное решение задачи Коши (4) для 
задается
формулой
(6)
с обобщенной
функцией Миттаг-Леффлера заданной через
(7)
Частные решения 
так же могут
быть представлены в виде ([6],[12])
где
-кратный
интеграл (заменяя на в (2)) и
(8)
классическая
функция Миттаг-Леффлера.
Пусть теперь будет общим банаховым пространством и будет линейным неограниченным
замкнутым оператором на пространстве . Используя методы данные в [1], [16] при , мы опишем начальные условия задачи Коши (4), для которых
решения могут быть так же представлены в виде (6). Это описание дано в терминах так называемых пространств Румье,
порожденных оператором и их
индуктивными и проективными пределами, пространств Жеврея
и Берлинга.
2. Линейные
уравнения дробного порядка.
В условии неограниченного оператора правая часть
отношения (6) не определено на всем Банаховом
пространстве . Однако мы можем исследовать условия для 
под которыми,
зависящий от времени оператор 
где
(9)
корректно
определена. Мы будем называть оператор 
данный в (9)
так же, как и оператор-функцию Миттаг-Леффлера.
Докажем, что для каждого 
формула (9)
определяет решение задачи Коши (4). Описание множества начальных значений, для
которых задача Коши (4) имеет решение в виде (9), может быть дано в терминах
пространств Румье, созданных оператором . (см. [1], [5], [16]).
О п р е д е л е н и е 2.1. Пусть линейный
неограниченный оператор в Банаховом пространстве 
последовательность с 
, и 
. Пространство Румье 
определим как
множество элементов 
, таких, что
Оснащенное
нормой
(10)
это
пространство – Банахово пространство, непрерывно
вложенное в пространство .
Так же мы будем использовать пространства Берлинга и Жеврея
Эти пространства оснащены топологиями индуктивных и
проективных пределов, соответственно, локально выпуклых пространств.
Одной из самых важных проблем в теории пространств Румье, Берлинга и Жеврея связанных с абстрактной задачей Коши для
дифференциальных уравнений дробного порядка является проблема плотности этих
пространств в пространстве . Для обзора
некоторых результатов в классическом случае 
см., например, в работе [1]. Надо заметить, что наиважнейшие результаты в этом направлении были
выведены для условий 
Мало чего может
быть найдено при условии , и оно должно быть еще исследовано.
В этой статье мы будем иметь дело с пространствами Румье с последовательностью 
которое обозначим как 
. Связь этих пространств с классическими
пространствами Румье 
с 
дана в
следующем простом результате.
Л е м м
а 2.1. Вложения
остаются
верными для 
и для каждого 
, если 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Условие 
очевидно. Для , используя асимптотическую
формулу Стирлинга для гамма функции (см. например [15]), мы получим оценку
с
константой 
, зависящей от . Эта оценка влечет вложения
(11) и (12):
(11)
(12)
Соединяя
(11) и (12) мы получим утверждение Леммы 2.1.
Как прямое следствие предыдущей леммы и определения
пространств Берлинга и Жеврея
мы получим следующий результат:
Л е м м
а 2.2. Для пространств Берлинга и Жеврея 
образованных
семействами множеств Румье и 
, соответственно имеют место тождества
(13)
Опишем множество начальных данных задачи Коши (4) в банаховом
пространстве X, для которых решения
могут быть представлены в виде (9). Мы сделаем это в терминах пространства Румье , порожденных оператором А.
Т е о р
е м а 2.1. Пусть А
– линейный неограниченный замкнутый
оператор в Банаховом
пространстве Х и 
.
Если
решение (9) задачи Коши (4) существует на
отрезке 
, тогда 
для каждого 
.
Наоборот,
если для некоторого 
, 
, тогда оператор-функция Миттаг-Леффлера
данная в (9) определяет решение задачи Коши (4) на интервале 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция
с фиксированными 
будет
определена на интервале . Тогда
и, следовательно,
Используя асимптотическую формулу [15]
(14)
мы приходим к каждому в отношении
которое влечет включение 
Обратно, пусть 
Начиная
с 
ряды
абсолютны и равномерны на каждом компакте интервала . Следовательно эти ряды для
каждого фиксированного 
определяют
линейный оператор (обозначим его как 
) из в . Если зафиксируем элемент 
, тогда функция
(15)
непрерывна
на интервале . Так же мы имеем
Докажем теперь, что 
.
Действительно, обычным дифференцированием (15) мы получим ряды
которые
абсолютны и равномерны на каждом компактном подмножестве интервала 
( в случае 
). Следовательно 
, и 
для всех 
. В случае мы можем
непосредственно проверить, что
Повторяя те же выкладки 
раз и используя
формулу
мы придем к
выражению
(16)
и включение 
Начиная
с 
, все функции 
интегрируемы на
интервале .
Используя формулу
и выражение (16) мы получим 
С другой стороны, так как оператор замкнут, мы
получим
Суммируя
полученные результаты, мы увидим, что оператор-функция (9) определяет решение
задачи Коши (4) на интервале 
С л е д с т в и е 2.1. Утверждение Теоремы 2.1 может быть переписано в терминах пространств
Жеврея и Берлинга. А
именно, функция оператора Миттаг-Леффлера (9)
определяет решение задачи Коши (4) на
подходящем интервале 
(на каждом
интервале ) тогда и только тогда, когда 
3.
Функция оператора Миттаг-Леффлера.
Рассмотрим теперь некоторые свойства функции оператора Миттаг-Леффлера 
данной в
(9). Для простоты мы ограничимся
условием . При этом условии (зафиксируем 
как 
) (9) переходит в
(17)
Т е о р
е м а 3.1. Пусть линейный
неограниченный замкнутый оператор в Банаховом пространстве 
Тогда
правая сторона отношения (17) определяет, при 
, непрерывный линейный оператор 
, действующий из 
в 
с оценкой нормы
(18)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для 
неравенство 
остается верным
(число 
дано в Теореме
3.1). Тогда, основываясь на доказательство Теоремы 2.1, 
для 
Кроме
того, что мы докажем, что оператор действует из
пространства в пространство с нормой,
оцененной (18). Мы используем вспомогательное
неравенство
если 
(19)
которое
является простым следствием теоремы суммирования Гаусса для гипергеометрических
функций 
([15]):
где 
означает символ
Похгаммера. Докажем (18). Используя неравенство (19), биномиальные ряды
неравенство (
(20)
следующее из (10), и некоторые элементарные оценки,
получим
З а м е ч а н и е 3.1. В
специальном условии мы имеем 
и оценкой нормы
(18) в виде
которая в
соответствии с результатами работы [1]. Если 
, тогда 
для всех
фиксированных 
с 
Т е о р
е м а 3.2. Пусть линейный
неограниченный замкнутый оператор в Банаховом
пространстве 
и 
Тогда
оператор-функция Миттаг-Леффлера заданная в (17)
– непрерывный линейный оператор, действующий из в для всех 
, и
(21)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Нам понадобятся два
вспомогательных неравенства
для всех 
(22)
и
для всех 
(23)
Для доказательства первого неравенства мы заметим, что 
Используя теорему суммирования Гаусса для
гипергеометрических функций , мы получим 
что и доказывает (23). Теперь пусть 
и . Используя неравенства (19), (20), (22) (с 
) и (23), мы имеем
Список литературы
[1]
E. A. B a r k o v a, P. P. Z a b r e j k o, On the
solvability of linear
differential
equations with unbounded operators in Banach spaces. ZAA
17
(1998),
339-360.
[2]
E. B a z h l e k o v a, The abstract Cauchy problem
for the fractional
evolution
equation. Fractional Calculus & Applied Analysis 1 (1998),
255-
270.
[3]
M. C a p u t o, Linear models of dissipation whose Q is almost frequency
independent,
Part II. Geophys. J. R. Astr. Soc. 13
(1967), 529-539.
[4]
A. M. A. E l - S a y e d, Fractional order evolution equations. Journal of
Fractional
Calculus 7 (1995),
89-100.
[5]
I. M. G e l’ f a n d , G. E. S h i
l o v, Generalized Functions, Vol. 2: Spaces
of
Basic and Generalized Functions. Moscow, Fizmatgiz (1958).
[6]
R. G o r e n f l o, F. M a i n a r d i, Fractional calculus: integral and
differential
equations of fractional order. In: Fractals and fractional calculus
in
continuum mechanics (Eds. A. Carpinteri and F. Mainardi). Wien
and
New
York, Springer Verlag (1997), 223-276.
[7]
R. G o r e n f l o, F. M a i n a r d i, Random walk models for space-fractional
diffusion
processes. Fractional Calculus and Applied Analysis 1 (1998), 167-
191.
[8]
V. K i r y a k o v a, Generalized Fractional
Calculus and Applications,
Pitman Research Notes in Math., Vol.
301. Harlow, Longman (1994).
[9]
A. N. K o c h u b e i, A Cauchy problemfor
evolution equations of fractional
order.
Differ. Equations 25 (1989), 967-974.
[10]
V. A. K o s t i n, The Cauchy problem for an abstract
differential equations
with
fractional derivatives. Russian Acad. Sci. Dokl. Math. 46
2 (1993), 316-
319.
[11]
Yu. L u c h k o, R. G o r e n f l o, Scale-invariant solutions of a partial
differential
equation
of fractional order. Fractional Calculus & Applied Analysis 1
1
(1998), 49-63.
[12]
Yu. L u c h k o, R. G o r e n f l o, An operational
method for solving fractional
differential
equations with the Caputo derivatives. Acta
Mathematica
Vietnamica, to appear.
[13]
Yu. F. L u c h k o, H. M. S r i v a s t a v a, The exact solution of certain
differential
equations of fractional order by using operational calculus.
Comput.
Math. Appl. 29
(1995), 73-85.
[14]
F. M a i n a r d i, Fractional calculus: some basic problems in continuum
and
statistical mechanics. In: Fractals and Fractional Calculus in Continuum
Mechanics (Eds.
A. Carpinteri, F. Mainardi).
Wien and New York, Springer
Verlag
(1997), 291-348.
[15]
O. I. M a r i c h e v, Handbook of Integral
Transforms of Higher Transcendental
Functions, Theory and Algorithmic Tables.
Chichester, Ellis Horwood
(1983).
[16]
V. I. N a z a r o v, Solvability of linear differential equations in scales of
Roumieu spaces defined by a linear unbounded
operator. Diff. Uravn.
26
(1990),
1598-1608.
[17]
I. P o d l u b n y, Fractional Differential Equations, Mathematics in
science
and
engineering, Vol. 198. New York, Academic Press (1999).
[18]
J. P r ¨u s s, Evolutionary Integral Equations
and Applications. Basel,
Birkh¨auser (1993).
[19]
S. G. S a m k o, A. A. K i l b a s and O. I. M a r i c h e v, Fractional
Integrals
and Derivatives: Theory and Applications.
New York, London, and
Paris, Gordon and Breach (1993).
[20]
G. W i t t e, Die analytische und die numerische Behandlung einer Klasse
von
Volterraschen Integralgleichungen
im Hilbertraum.
Berlin, Logos Verlag
(1997).