Операции с матрицами на C++. Класс DMatrix
Fractional
Calculus: Integral and Differential Equations of Fractional Order
( Дробное исчисление:
интегральные и дифференциальные уравнения дробного порядка )
Rudolf Gorenflo and Francesco
Mainardi
2008
В
данном курсе лекций мы вводим линейные операторы дробного интегрирования и
дифференцирования на основе дробного исчисления Римана-Лиувилля. Особое
внимание уделено технике преобразования Лапласа с целью использования этих
операторов в прикладных целях, избегая непродуктивных обобщений и чрезмерных
математических нагромождений. Таким способом мы придем к аналитическому решению
простейших линейных интегральных и дифференциальных уравнений дробного порядка.
Далее
будет показана фундаментальная роль функций Миттаг-Лефлера, свойства которых
приведены в специальном Приложении.
Основные
темы, рассмотренные в данном курсе: (а) основные элементы дробного исчисления
Римана-Лиувилля и основные формулы преобразования Лапласа; (Ь) интегральные
уравнения абелевского типа первого и второго рода; (с) дифференциальные
уравнения дробного порядка релаксационного и осцилляторного типа.
Исторический обзор
Дробное исчисление — это раздел
математического анализа, в котором рассматриваются интегралы и производные
произвольного порядка. Термин «дробный» в данном случае не вполне корректен, но
является общепринятым. Дробное исчисление является старой и, в то же время,
новой темой.
Это - старая тема, берущая начало от идей
Лейбница (1695, 1697) и Эйлера (1730), получивших развитие в наши дни. Список
математиков, внесших свой вклад к середине XX века, включает P.S.Laplace (1812),
J.B.J.Fourier (1822), N.H.Abel (1823-1826), J.Liouville (1832-1873), B.Riemann
(1847), H.Holmgren (1865-67), A.K.Gruenwald (1867-1872), A.V.Letnikov
(1868-1872), H.Laurent (1884), P.A.Nekrassov (1888), A.Krug (1890), J.Hadamard
(1892), O.Heaviside (1892-1912), S.Pincherle (1902), G.H.Hardy and
J.E.Littlewood (1917-1928), H.Weyl (1917), P.Levy (1923), A.Marchaud (1927),
H.T.Davis (1924-1936), A.Zygmund (1935-1945), E.R.Love (1938-1996), A.Erdelyi
(1939-1965), H.Kober (1940), D.V.Widder (1941), M.Reisz (1949).
В то же время это - новая тема, так как лишь
немногим более двадцати последних лет она стала объектом проведения специальных
конференций и написания научных работ. Заслугу проведения первой такой
конференции приписывают В. Ross'y, организовавшему Первую конференцию по
дробному исчислению и его приложениям в университете Нью Хейвена в июне 1974г.,
и издавшему материалы конференции, см. [1]. Первая монография принадлежит
К.В.Oldham and J.Spanier, см. [2], которые начали сотрудничество в 1968г., и в
1974г. опубликовали книгу. В наши дни список публикаций, полностью или частично
посвященных дробному исчислению и его приложениям, составляет около дюжины
наименований [1-14], среди которых наиболее выдающимся является
энциклопедический трактат Самко, Килбаса и Маричева [5].
Кроме того, следует обратить внимание на
труды Davis'a [15], Erdelyi [16], Gelfand'a & Shilov'a [17], Djrbashian
[18, 22], Caputo [19], Babenko [20], Gorenflo & Vessella [21], содержащие
детальный анализ некоторых математических аспектов и/или физических приложений
дробного исчисления, хотя и без прямого указания на эту тему в названиях работ.
В последние годы немалый интерес к дробному исчислению привлечен различными его приложениями в численном анализе и различных сферах физики и техники, в той или иной степени близких к феномену фрактала. В связи с этим A. Carpinteri and F. Mainardi подготовили к изданию настоящий курс лекций, озаглавленный «Фракталы и дробное исчисление в континуальной механике». В соответствие с общей темой, настоящее предисловие относится как к данной работе (Gorenflo [23]), посвященной численным методам, так и к статье Mainardi [24], посвященной приложениям в механике.