оглавление

1. Определения Золотой Пропорции и чисел Фибоначчи.
Четыре основные константы.

Определение 1: Разделим отрезок точкой на 2 части так, чтобы отношение целого к большей части было равно отношению большей части к меньшей части:

|--------a---------|------b-----|

(a+b)/a = a/b = τ

Величина этого соотношения называется Золотой пропорцией.

τ =1,618033989…….

Заметим, что эквивалентное определение задается уравнением:

τ ²- τ -1=0

Получается это следующим образом: (a+b)/a = a/b => (τb+b) / τb = (τb)/b => (1+ τ)/τ = τ => τ ² – τ – 1 = 0.

Данное уравнение имеет 2 решения: (1+√ 5)/2 и (1-√ 5)/2 , одно из которых равно τ , а другое равно - τ ^-1.

Определение 2: Последовательностью Фибоначчи называется последовательность натуральных чисел, заданная рекуррентным соотношением:

F_i = F_i-1 + F_i-2 (*)

и начальными условиями: F₁ = F₂ = 1 .

Вот первые члены этой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …………

Числа Фибоначчи связаны с Золотой Пропорцией предельным соотношением, которое можно обозначить как еще одно эквивалентное определение Золотой Пропорции:

Определение 3: Золотой Пропорцией называется следующий предел:

τ = lim F_i / F_i-1 , i → ∞ (1)

где F_i – числа Фибоначчи.

Интуитивно понятно, почему это так: здесь просматривается аналогия с Определением 1 . Пусть F_i – целое, тогда F_i-1 и F_i-2 – соответственно, большая и меньшая части разбиения F_i = F_i-1 + F_i-2 . Однако, начальные условия F₁ = F₂ = 1 не позволяют получить для членов последовательности точного значения τ : 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5 , ……. ; равенство (1) достигается лишь на бесконечности.

И последнее определение, которое почему-то обычно не используется в литературе. Вопрос в том, можно ли корректно расширить последовательность Фибоначчи на всю ось целых чисел?

Возьмем за основу рекуррентное соотношение: F_i = F_i-1 + F_i-2 и те же начальные условия: F₁ = F₂ = 1 .

Пусть теперь i € (-∞ ,∞ ). Тогда F₀=F₂-F₁=0, F_-1=F₁-F₀=1, F_-2=F₀-F_-1=-1 .

Итак,

Определение 4: Расширенной последовательностью Фибоначчи назовем последовательность {F*}, заданную теми же рекуррентным соотношением и начальными условиями, что и обычная последовательность Фибоначчи, но i € (-∞ ,∞ ).

Получившийся ряд выглядит так:

….… 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …….

Замечание: Первое, что приходит в голову при взгляде на расширенный ряд {F*} – попробовать инвертировать знаки, т.е. помножить на (-1) :

….… -13, 8, -5, 3, -2, 1, -1, 0, -1, -1, -2, -3, -5, -8, -13, …….

Получившаяся последовательность {-F*}, соответствует тому же соотношению (*), но с другими начальными условиями: F₁ = F₂ = -1 .

Здесь также lim –F*_i / -F*_i-1= τ , i → ∞

Исследуем теперь случай i → - ∞ :

F*_i / F*_i-1 → - τ (Также и для отрицательного ряда: –F*_i / -F*_i-1 → - τ ) .

Видоизменим Золотую Пропорцию следующим образом:

(b-a)/a=a/b= τ’ , a, b > 0

Тогда τ’ удовлетворяет уравнению:

x²+x-1=0 ; его корни: x=(-1+√ 5)/2 и x=(-1-√ 5)/2

Т.е. корни этого уравнения равны - τ и τ ^-1.

Итак, мы получили 2 пары констант: τ , - τ ^-1 и - τ , τ ^-1

и увидели, что направленная в +∞ часть ряда Фибоначчи соответствует уравнению

x²-x-1=0 ,

а направленная в –∞ – уравнению

x²+x-1=0 .

Константа	Предел	Уравнение	Доп. константа
τ	i → ∞	x^2-x-1=0	- τ ^-1
- τ	i → - ∞	x^2+x-1=0	τ ^-1

далее