оглавление

 

1. Определения Золотой Пропорции и чисел Фибоначчи.
Четыре основные константы.

 

Определение 1: Разделим отрезок точкой на 2 части так, чтобы отношение целого к большей части было равно отношению большей части к меньшей части:

|--------a---------|------b-----|

 

(a+b)/a = a/b = τ

Величина этого соотношения называется Золотой пропорцией.

τ =1,618033989…….

 

 

Заметим, что эквивалентное определение задается уравнением:

τ 2- τ -1=0

Получается это следующим образом: (a+b)/a = a/b  =>  (τb+b) / τb = (τb)/b  =>  (1+ τ)/τ = τ  =>  τ 2 – τ – 1 = 0.

 

Данное уравнение имеет 2 решения: (1+√ 5)/2 и (1-√ 5)/2 , одно из которых равно τ , а другое равно - τ -1.

 

Определение 2: Последовательностью Фибоначчи называется последовательность натуральных чисел, заданная рекуррентным соотношением:

Fi = Fi-1 + Fi-2 (*)

и начальными условиями: F1 = F2 = 1 .

Вот первые члены этой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …………

 

Числа Фибоначчи связаны с Золотой Пропорцией предельным соотношением, которое можно обозначить как еще одно эквивалентное определение Золотой Пропорции:

Определение 3: Золотой Пропорцией называется следующий предел:

τ = lim Fi / Fi-1 , i → ∞ (1)

где Fi – числа Фибоначчи.

 

Интуитивно понятно, почему это так: здесь просматривается аналогия с Определением 1 . Пусть Fiцелое, тогда Fi-1 и Fi-2 – соответственно, большая и меньшая части разбиения Fi = Fi-1 + Fi-2 . Однако, начальные условия F1 = F2 = 1 не позволяют получить для членов последовательности точного значения τ : 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5 , ……. ; равенство (1) достигается лишь на бесконечности.

 

И последнее определение, которое почему-то обычно не используется в литературе. Вопрос в том, можно ли корректно расширить последовательность Фибоначчи на всю ось целых чисел?

Возьмем за основу рекуррентное соотношение: Fi = Fi-1 + Fi-2 и те же начальные условия: F1 = F2 = 1 .

Пусть теперь i € (-∞ ,∞ ).  Тогда F0=F2-F1=0, F-1=F1-F0=1, F-2=F0-F-1=-1 .

Итак,

Определение 4: Расширенной последовательностью Фибоначчи назовем последовательность {F*}, заданную теми же рекуррентным соотношением и начальными условиями, что и обычная последовательность Фибоначчи, но i € (-∞ ,∞ ).

Получившийся ряд выглядит так:

….… 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …….

 

Замечание: Первое, что приходит в голову при взгляде на расширенный ряд {F*} – попробовать инвертировать знаки, т.е. помножить на (-1) :

….… -13, 8, -5, 3, -2, 1, -1, 0, -1, -1, -2, -3, -5, -8, -13, …….

Получившаяся последовательность {-F*}, соответствует тому же соотношению (*), но с другими начальными условиями: F1 = F2 = -1 .

Здесь также limF*i / -F*i-1= τ , i → ∞

 

 

Исследуем теперь случай i → - ∞ :

F*i / F*i-1 → - τ (Также и для отрицательного ряда: –F*i / -F*i-1 → - τ ) .

Видоизменим Золотую Пропорцию следующим образом:

(b-a)/a=a/b= τ’ , a, b > 0

Тогда τ’ удовлетворяет уравнению:

x2+x-1=0 ; его корни: x=(-1+√ 5)/2 и x=(-1-√ 5)/2

Т.е. корни этого уравнения равны - τ и τ -1.

Итак, мы получили 2 пары констант: τ , - τ -1 и - τ , τ -1

и увидели, что направленная в +часть ряда Фибоначчи соответствует уравнению

x2-x-1=0 ,

а направленная в – – уравнению

x2+x-1=0 .

 

 Константа

 Предел

Уравнение

Доп. константа

τ

 i →

x2-x-1=0

- τ -1

- τ

i → -

x2+x-1=0

τ -1

 

далее

 

Рейтинг@Mail.ru