Логарифмический алгоритм
для произвольного N

[предыдущая глава]  [оглавление]  [следующая глава]

В "Википедии" нашелся алгоритм сложности O(Nlog₂N)для произвольного N. Алгоритм основан на значительном увеличении числа элементов последовательности и дополнении ее нулями. Хотя такое расширение, естественно, будет компенсироваться высокой скоростью алгоритма.

Длина последовательности берется равной N', где N' - степень двойки ближайшая сверху к 2N. То есть, 4N > N' = 2^T ≥ 2N. Т.е. число элементов новой последовательности в худшем случае может превышать число элементов исходной последовательности почти в 4 раза. Например, если N = 9, то N' = 32.

Обозначим

Представим формулу (1) в виде:

Преобразуем степень:

kn = 2kn/2 = (−k² + k² + 2kn + n² − n²)/2 = (−k² + (k + n)² − n²)/2

Это используем для дальнейшего преобразования формулы (1):

Далее введем обозначения:

x'_n = x_nW ^−n2/2

X'_k = X_kW ^k2/2

Для n > N, полагаем x_n = 0.

Тогда

   (42)

И далее авторы алгоритма выполняют виртуозный "финт ушами". Пусть:

z_k = (2N − 2 − k)

w_n = W ^z_n2/2

И превращают формулу (42) в:

   (43)

Проверим:

w_{zk − n} = W ^{(z_{zk − n})2/2} = W ^{(2N − 2 − (z_k − n))2/2} = W ^{(2N − 2 − z_k + n)2/2} = W ^{(2N − 2 − (2N − 2 − k) + n)2/2} = W ^{(2N − 2 − 2N + 2 + k + n)2/2} = W ^{(k + n)2/2}

Правая часть формулы (43) является дискретной сверткой. В общем случае формула свертки имеет вид:

   (44)

где f и g - функции от целых переменных (т.е. дискретные функции). В данном случае роль таких функций играют x'_n и w_n, которые "зависят" от своих индексов как от целых переменных. Свертка обладает замечательным свойством:

F(f * g) = F(f) F(g)   (45)

где F(f) - это дискретная функция, которая получается из дискретной функции f с помощью быстрого преобразования Фурье.

Дальнейший порядок вычисления таков. Сначала надо вычислить F(x'), то есть взять набор x'_n и вычислить БПФ для n = 0...N' − 1. Затем вычислить F(w), для чего взять набор w_n и вычислить БПФ для n = 0...N' − 1. Потом по формуле (45) простым перемножением получаем F(x' * w) = F(x') F(w). Просто берем i-й элемент, полученный после БПФ набора x'_n, и умножаем на i-й элемент, полученный после БПФ набора w_n. В результате получим БПФ свертки x' * w. Теперь у нас есть БПФ свертки, из него надо получить саму свертку. Для этого применяем обратное преобразование Фурье. Теперь нам надо найти X'_k. Для этого используем формулу (43). k-й элемент набора X_k будет соответствовать z_k-му элементу свертки. Наконец, останется перейти от X'_k к X_k.

В процессе вычислений мы применяли алгоритмы порядка сложности N, N' и N'log₂N' (когда делали три БПФ). Поскольку N' не может превышать N более, чем в 4 раза, то весь алгоритм имеет сложность O(Nlog₂N)

Обратное преобразование требует величины W без минуса в показателе и в конце алгоритма - деления всех полученных элементов на N. Три алгоритма БПФ остаются в этом случае теми же: два прямых перобразования и одно обратное.

На следующей страничке приведен листинг программы, выполняющей прямое и обратное преобразования по этому алгоритму. Оптимизация выполнена примерно теми же способами, что и в предыдущем случае с незначительными модификациями. Переменные x' в алгоритме обозначаются как x_, 2N как N2, N' как N_, z_k как N22, π/N (или −π/N при обратном преобразовании) как piN.