Комментарии к специальной теории относительности

Кочетков Виктор Николаевич,

главный специалист ФГУП «Центр эксплуатации

объектов наземной космической инфраструктуры»

(ФГУП «ЦЭНКИ»)

В данной статье делается попытка установить, являются ли в специальной теории относительности преобразования Лоренца единственно возможной связью между координатами и временем в инерциальных системах отсчета, а также соответствуют ли выводы специальной теории относительности требованиям, накладываемым условием симметрии пространства и времени.

1. Введение

В настоящее время в журналах и Интернете публикуется большое количество статей, посвященных критике специальной теории относительности. Складывается впечатление, что только ленивый ее не критикует.

В тоже время не удается увидеть ни одной статьи, защищающей специальную теорию относительности. Возможно, ее защитники считают ниже своего достоинства вступать в полемику с критиками или они забыли, в чем же она заключается.

Также можно отметить, что критические замечания в отношении специальной теории относительности в основном состоят из описания логического несоответствия ее выводов реальному представлению пространства и времени.

Но ведь специальная теория относительности – это идеализированная математическая модель, построенная в рамках определенных условий, и поэтому результаты ее не могут быть в обязательном порядке распространены вне рамок, установленных для нее условий.

По-моему, если уж и критиковать специальную теорию относительности, то критику надо было бы начать с ее математической модели.

Может, было бы полезно еще раз рассмотреть математическую модель специальной теории относительности, а выводы ее проверить на выполнение условий, закладываемых при ее создании.

1.1. Краткая история создания специальной теории относительности

На рубеже XIX-XX веков стараниями крупнейших физиков мира была создана специальная теория относительности.

В конце XIX столетия между двумя важнейшими разделами физики - механикой и электродинамикой - возникли серьезные противоречия.

В механике утвердился принцип относительности Галилея - полное равноправие систем отсчета, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно.

В электродинамике основополагающее место заняла идея эфира - среды, заполняющей мировое пространство, и в которой происходят все физические процессы, в т.ч. электромагнитные колебания. При этом движение частиц и поля следовало описывать в координатах, жестко связанных с эфиром - абсолютной системой отсчета.

В 1881, 1886÷1887 годах А. Майкельсону и Э. Моли в ходе экспериментов не удалось зарегистрировать "эфирный ветер". В результате эфирная теория света, казалось бы надежно подтвержденная опытами, не согласовывалась с классической механикой.

В 1889 году ирландский физик Д. Фицджеральд предложил принять, что при движении тела со скоростью V относительно эфира его продольный размер l´ испытывает сокращение по закону:

l´= l · [1– (V²/ c²)]^1/2 ( 1 )

где: c - скорость света,

l - длина неподвижного в отношении эфира тела.

В 1892 году нидерландский физик Х. Лоренц дополнил гипотезу Д. Фицджеральда идеей "местного" времени t´, связанного с "истинным" универсальным временем t преобразованием:

t´= t– [(x · v) / c²] ( 2 )

где: v - скорость движения тела при прохождении точки пространства с координатой x.

Также Х. Лоренц видоизменил преобразования Галилея на случай больших скоростей:

x₁= β · ( x₂– V · t₂) ( 3 )

y₁= y₂( 4 )

z₁= z₂( 5 )

t₁= β · { t₂– [(x · V) / c²]} ( 6 )

путем введения "релятивистского" множителя β :

β = 1 / {[1– (V²/ c²)]^1/2} ( 7 )

Формулы (3)÷(6) перехода между инерциальными системами отсчета получили наименование "преобразования Лоренца".

Еще в 1881 году английский физик Д. Томсон предположил, что масса М тела, движущегося со скоростью v, будет больше, чем масса М_о в состоянии покоя, причем величина М равна:

М= М_о / {[1– (v²/ c²)]^1/2} ( 8 )

1.2. Специальная теория относительности

В 1905 году А. Эйнштейн взял за основу фундаментальные принципы, в сжатом виде передающие суть двух классических физических теорий: из механики - принцип равноправия всех инерциальных систем отсчета (принцип относительности), из электродинамики - принцип постоянства скорости света.

Принцип относительности: в любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково, т.е. физические законы независимы (инвариантны) по отношению к выбору инерциальной системы отсчета - уравнения, выражающие эти законы, имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.

Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от движения источника света, т.е. скорость света одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета.

Используя принцип относительности и принцип постоянства скорости света, А. Эйнштейн вывел преобразования Лоренца, однако придал им иной физический смысл:

x₁= [x₂+ (V · t₂)] / [1– (V²/ c²)]^1/2 ( 9 )

x₂= [x₁– (V · t₁)] / [1– (V²/ c²)]^1/2 ( 10 )

y₁= y₂( 11 )

z₁= z₂( 12 )

где: x₁, y₁, z₁– координаты точки А в момент времени t₁в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁;

x₂, y₂, z₂ – координаты точки А в момент времени t₂в подвижной инерциальной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ (как показано на рис. 1).

t₁ = {t₂+ [( V · x₂) / c²]} / [(1– V²/ c²)^1/2] ( 13 )

t₂ = {t₁– [(V · x₁) / c²]}/ [(1– V²/ c²)^1/2] ( 14 )

Исходя из формул (9)÷(14), связь между проекциями v_x₂,v_y₂иv_z₂скорости движения точки А в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂на оси декартовых координат и аналогичнымипроекциями v_x₁, v_y₁иv_z₁скорости той же точки А в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁определена в виде:

v_x₁= (v_x₂+ V) / {1 + [(V · v_x₂)/ c²)]} ( 15 )

v_x₂= (v_x₁– V) / {1 – [(V · v_x₁)/ c²)]} ( 16 )

v_y₁= {v_y₂·[1– (V²/ c²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x₂)/ c²)]} ( 17 )

v_y₂= {v_y₁·[1– (V²/ c²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x₁)/ c²)]} ( 18 )

v_z₁= {v_z₂·[1– (V²/ c²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x₂)/ c²)]} ( 19 )

v_z₂= {v_z₁·[1– (V²/ c²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x₁)/ c²)]} ( 20 )

В специальной теории относительности зависимости массы М(V) , импульса Р(V)и кинетической энергии Е_к(V)материальной точки, движущейся со скоростью V, выражаются формулами:

М(V)= М_о / [1– (V²/ c²)]^1/2 ( 21 )

Р(V)= ( М_о · V) / [1– (V²/ c²)]^1/2 ( 22 )

Е_к(V)= М_о· c²· {{1 / [1+ (V²/ c²)]^1/2} – 1} ( 23 )

где: М_о - масса этой материальной точки в состоянии покоя.

В заключение можно отметить, что специальная теория относительности была создана в первую очередь для объяснения результатов экспериментов (А. Майкельсона и др.), приведших к рассмотрению вопроса о постоянстве скорости света (а точнее к объяснению постоянства скорости света).

2. Кинематика

2.1. "Специальная теория относительности в общем виде"

Чтобы не путаться в наименованиях, предполагаемую ниже идею назовем "специальная теория относительности в общем виде".

Предположим, что пространство однородно и изотропно, а время однородно (т.е. имеется симметрия пространства и времени).

При рассмотрении будем использовать принцип относительности: в любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково.

В связи с отсутствием необходимости не будем применять принцип инвариантности скорости света (т.е. применим менее жесткие условия).

Предположим, что имеются две инерциальные системы отсчета: неподвижная O₁x₁y₁z₁и подвижная O₂x₂y₂z₂, изображенные на рис. 1 и у которых:

- сходные оси декартовых координат систем O₁x₁y₁z₁и O₂x₂y₂z₂ попарно параллельны и одинаково направлены;

- система O₂x₂y₂z₂ движется относительно системы O₁x₁y₁z₁с постоянной скоростью V₂ относительно оси Ox₁;

- в качестве начала отсчета времени (t₁=0 и t₂=0) в обеих системах выбран тот момент, когда начала координат O₁и O₂этих систем совпадают.

Исходя из симметрии пространства и времени (однородности и изотропности пространства и однородности времени), соотношения между координатами и временем одного и того же события в двух инерциальных системах отсчета неподвижной O₁x₁y₁z₁и подвижной O₂x₂y₂z₂ могут быть записаны следующим образом:

x₁= β₁ · ( x₂+ V₁ · t₂) ( 24 )

x₂= β₂ · ( x₁+ V₂ · t₁) ( 25 )

y₁= β₃ · y₂( 26 )

y₂= β₄ · y₁( 27 )

z₁= β₅ · z₂( 28 )

z₂= β₆ · z₁( 29 )

где: x₁, y₁, z₁и x₂, y₂, z₂ – координаты точки А в системах отсчета O₁x₁y₁z₁и O₂x₂y₂z₂,соответственно;

t₁ и t₂ - значения времени в системах отсчета O₁x₁y₁z₁и O₂x₂y₂z₂, соответственно;

β₁, β₂, β₃, β₄, β₅и β₆ - коэффициенты перехода;

V₁- скорость движения системы O₁x₁y₁z₁ относительно системы O₂x₂y₂z₂.

y₁

t₂

О₂

x₁

x₂

V

y₂

· А

О₁ ≡ О₂

x₁

x₂

V

y₂

y₁

· А

t₁

t₁ = t₂ = 0

О₁

Рис. 1

Использование принципа относительности и симметрии пространства и времени позволяет получить:

V₁= – V₂= V ( 30 )

β₁= β₂= β ( 31 )

β₃= β₄= 1 ( 32 )

β₅= β₆= 1 ( 33 )

При этом система уравнений (24)÷(29) упростится и примет вид:

x₁= β · ( x₂+ V · t₂) ( 34 )

x₂= β · ( x₁– V · t₁) ( 35 )

y₁= y₂( 36 )

z₁= z₂( 37 )

Причем коэффициент перехода β не зависит от значений координат x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂ и времени t₁ и t₂, а предположительно может являться функцией скорости V перемещения систем отсчета O₁x₁y₁z₁и O₂x₂y₂z₂ относительно друг друга.

Из формул (34) и (35) можно записать зависимость для значений времен t₁ и t₂:

t₁ = {[(β²– 1) · x₂] / (β · V)}+ (β · t₂) ( 38 )

t₂ = {[(1– β²) · x₁] / (β · V)} + (β · t₁) ( 39 )

Про коэффициент перехода β в формулах (34) и (35) можно сказать следующее:

- исходя из принципа относительности, симметрии пространства и времени коэффициент перехода β может быть только действительной величиной;

- коэффициент перехода β будет равен 1 при V = 0 (граничное условие);

- коэффициент перехода β будет равен 1, если коэффициент перехода β не будет зависеть от величины скорости V;

- при принятом направлении оси декартовых координат систем O₁x₁y₁z₁и O₂x₂y₂z₂ коэффициент перехода β будет больше 0 , так как отрицательные значения коэффициент перехода β будет иметь при разной направленности осей O₁x₁и O₂x₂;

- при значении коэффициента перехода β > 1 линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения и ход времени часов, движущихся относительно инерциальной системы отсчета, замедляется;

- при значении коэффициента перехода 0 < β < 1 линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, увеличивается в направлении движения и ход времени часов, движущихся относительно инерциальной системы отсчета, ускоряется;

- принцип относительности и симметрия пространства и времени определяют также, что в случае зависимости коэффициента перехода β от величины скорости V величина коэффициента перехода β однозначно зависит от величины скорости V (т.е. одному конкретному значению скорости V может соответствовать только одно конкретное значение коэффициента перехода β).

Формулы (24)÷(29) однозначно определяют связь между координатами x₁, y₁и z₁ точки А и временем t₁ в неподвижной системе O₁x₁y₁z₁и координатами x₂, y₂и z₂ этой же точки А и временем t₂ в подвижной системе O₂x₂y₂z₂.

Используя формулы (24)÷(39), можно получить однозначную связь между проекциями v_x₂,v_y₂иv_z₂скорости движения точки А в подвижной системе O₂x₂y₂z₂на оси декартовых координат и аналогичнымипроекциями v_x₁,v_y₁иv_z₁скорости этой точки А в неподвижной системе O₁x₁y₁z₁:

v_x₁= (v_x₂+ V) / {{[(β²– 1) · v_x₂] / (β²· V)} + 1} ( 40 )

v_x₂= (v_x₁– V) / {{[(1– β²) · v_x₁] / (β²· V)} + 1} ( 41 )

v_y₁= v_y₂/ {{[(β²– 1) · v_x₂] / (β· V)} + β} ( 42 )

v_y₂= v_y₁/ {{[(1– β²) · v_x₁] / (β· V)} + β} ( 43 )

v_z₁= v_z₂/ {{[(β²– 1) · v_x₂] / (β· V)} + β} ( 44 )

v_z₂= v_z₁/ {{[(1– β²) · v_x₁] / (β· V)} + β} ( 45 )

Рассматривая формулу (40) для случая, когда коэффициент перехода β > 1 при действительных значениях V, v_x₁, v_x₂,можно отметить, что:

- при положительных значениях v_x₂:

v_x1≤ (v_x2+ V) ( 46 )

- при отрицательных значениях v_x₂:

v_x₁≥ (v_x₂+ V) ( 47 )

Неравенства (46) и (47) не исключают, что при β > 1 возможно существование такого действительного значения скорости v_x₁движения точки в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁, которое было бы равно значению скорости v_x₂движения этой же точки в подвижной инерциальной системе отсчета O₂x₂y₂z₂.

Исследуя формулу (40) для случая, когда коэффициент перехода 0 < β < 1 при действительных значениях V, v_x₁, v_x₂,можно отметить, что:

- при положительных значениях v_x₂:

v_x₁≥ (v_x₂+ V) ( 48 )

или при V ≠ 0 : v_x₁> v_x₂ ( 49 )

- при отрицательных значениях v_x₂:

v_x₁≤ (v_x₂+ V) ( 50 )

Неравенства (48)÷(50) показывают, что при 0 < β < 1 не может существовать такое действительное значение скорости v_x₁движения точки в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁, которое было бы равно значению скорости v_x₂движения этой же точки в подвижной инерциальной системе отсчета O₂x₂y₂z₂.

Из формул (38)÷(45) может быть получена однозначная связь между проекциями a_x₂,a_y₂ иa_z₂ускорения точки А в подвижной системе O₂x₂y₂z₂на оси декартовых координат и аналогичнымипроекциями a_x₁,a_y₁ иa_z₁ ускорения этой точки А в неподвижной системе O₁x₁y₁z₁:

a_x₁= (a_x₂· β^-3)/ {{[(β²– 1) · v_x₂] / (β²· V)} + 1}³ ( 51 )

a_x₂= (a_x₁· β^-3)/ {{[(1– β²) · v_x₁] / (β²· V)} + 1}³ ( 52 )

(a_y₂· {{[(β²– 1) · v_x₂] / (β· V)} + β}) – {[(β²– 1) · v_y₂·a_x₂] / (β· V)}

a_y1=———————————————————————————– ( 53 )

{{[(β²– 1) · v_x2] / (β· V)} + β}³

(a_y1· {{[(1– β²) · v_x1] / (β· V)} + β}) – {[(1– β²) · v_y1·a_x1] / (β· V)}

a_y2=———————————————————————————– ( 54 )

{{[(1– β²) · v_x1] / (β· V)} + β}³

(a_z2· {{[(β²– 1) · v_x2] / (β· V)} + β}) – {[(β²– 1) · v_z2·a_x2] / (β· V)}

a_z1=———————————————————————————– ( 55 )

{{[(β²– 1) · v_x2] / (β· V)} + β}³

(a_z1· {{[(1– β²) · v_x1] / (β· V)} + β}) – {[(1– β²) · v_z1·a_x1] / (β· V)}

a_z2=———————————————————————————– ( 56 )

{{[(1– β²) · v_x1] / (β· V)} + β}³

2.2. Определение особой скорости

Допустим, что существует такое значение V_x_крпроекции v_x₁скорости движения точки А в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁, которому бы соответствовало значение проекции v_x₂скорости движения точки А в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂, равное V_x_кр, т.е. когда:

v_x₁= v_x₂ = V_x_кр ( 57 )

Подставив значение (57) в формулу (40) или (41), получим:

V_x_кр²= (β²· V²)/ ( β²– 1) ( 58 )

Из формулы (58) следует зависимость V_x_кр от величины скорости V и коэффициента перехода β для любого возможного значения скорости V:

V_x_кр= ± (β· V)/ ( β²– 1)^1/2 ( 59 )

В случае, если коэффициент перехода β имеет значениеβ ≥ 1 , получим, что V_x_кр будет иметь действительное значение (что находится в соответствии с условиями (46) и (47)) и ее для дальнейшего рассмотрения запишем как :

V_x_кр= v_x_кр1= ± (β· V)/ ( β²– 1)^1/2 ( 60 )

где: v_x_кр1 - действительная величина, имеющая размерность скорости.

А в случае, если коэффициент перехода β имеет значение0 < β ≤ 1 , получим, что V_x_кр будет иметь мнимое значение (что находится в соответствии с условиями (48)÷(50), т.к. скорость движения точки в неподвижной системе отсчета всегда выше скорости этой же точки в подвижной инерциальной системе отсчета при 0 < β ≤ 1) и которую для дальнейшего рассмотрения запишем как :

V_x_кр= ί · v_x_кр2= ± (ί · β· V)/ (1– β²)^1/2 ( 61 )

где: v_x_кр2 - действительная величина, имеющая размерность скорости,

а ί равно:

ί =(– 1 )^1/2( 62 )

Из формулы (58) можно получить зависимость коэффициента перехода β от величины скорости V для любого возможного значения скорости V :

β²= 1 / [1– (V²/ V_x_кр²)] ( 63 )

Тогда из формулы (63) с учетом формулы (60) для коэффициента перехода β, имеющего значенияβ ≥ 1 и который обозначим как β_>, можно записать:

β_>²= 1 / [1– (V²/ v_x_кр1²)] ( 64 )

А из формулы (63) с учетом формулы (61) для коэффициента перехода β, имеющего значения0<β≤ 1 и который обозначим как β_<, можно записать:

β_<²= 1 / [1+ (V²/ v_x_кр2²)] ( 65 )

2.3. Уравнение связи для коэффициентов перехода

Рассмотрим три инерциальные системы отсчета: неподвижную O₁x₁y₁z₁и подвижные O₂x₂y₂z₂ и O₃x₃y₃z₃, показанные на рис. 2 и у которых:

- сходные оси декартовых координат систем O₁x₁y₁z₁, O₂x₂y₂z₂ и O₃x₃y₃z₃попарно параллельны и одинаково направлены;

- система O₂x₂y₂z₂ движется относительно системы O₁x₁y₁z₁с постоянной скоростью V₂ относительно оси Ox₁;

- система O₃x₃y₃z₃ движется относительно системы O₁x₁y₁z₁с постоянной скоростью V₃ относительно оси Ox₁;

- в качестве начала отсчета времени (t₁=0 , t₂=0 и t₃=0) в этих трех системах выбран тот момент, когда их начала координат O₁, O₂и O₃ совпадают.

t₃

V₃

t₂

t₁

V₂

y₃

y₂

y₁

О₃

О₂

О₁

x₃

x₂

x₁

t₁ = t₂ = t₃ = 0

V₃

V₂

О₁ ≡ О₂≡ О₃

x₃

x₂

x₁

y₃

y₂

y₁

Рис. 2

Опираясь на формулу (41), можно определить значение скорости V₂₃ движения точки O₃относительно точки O₂:

V₂₃= (V₃– V₂) / {{[(1– β₂²) · V₃] / (β₂²· V₂)} + 1} ( 66 )

и значение скорости V₃₂ движения точки O₂относительно точки O₃:

V₃₂= (V₂– V₃) / {{[(1– β₃²) · V₂] / (β₃²· V₃)} + 1} ( 67 )

где: β₂и β₃ - коэффициенты перехода для инерциальных систем отсчета, движущихся относительно неподвижной системы отсчета со скоростью V₂и V₃,соответственно.

Используя принцип относительности, согласно которому точка O₃будет удаляться относительно точки O₂со скоростью, равной по абсолютной величине и противоположно направленной скорости, с которой точка O₂удаляется относительно точки O₃, т.е.:

V₃₂= – V₂₃( 68 )

Подставив уравнение (68) в формулы (66) и (67), получим:

{[(1– β₂²) · V₃] / (β₂²· V₂)} + 1 = {[(1– β₃²) · V₂] / (β₃²· V₃)} + 1 (69 )

Отсюда уравнение для коэффициентов перехода β₂и β₃запишется следующим образом:

β₃²= (β₂²· V₂)/[V₃²– (β₂²· V₃)+ (β₂²· V₂)]( 70 )

2.4. Получение зависимости для коэффициента перехода β

Из уравнения (69) можно получить формулу:

(β₂²– 1) /(β₂²· V₂²) =(β₃²– 1) /(β₃²· V₃²) ( 71 )

Так как величины коэффициентов перехода β₂и β₃не зависят друг от друга, а зависят только от величин скоростей V₂и V₃,соответственно, и величины скоростей V₂и V₃задавались произвольно (также не зависят друг от друга), то можно сказать, что:

(β₂²– 1) /(β₂²· V₂²) =(β₃²– 1) /(β₃²· V₃²) = К = Const ( 72 )

т.е. получается в общем виде, что:

(β²– 1) /(β²· V²) = К = Const ( 73 )

где: К- постоянная величина, независящая от величины скорости V (V₂и V₃) и величины коэффициента перехода β (β₂и β₃) и имеющая размерность, обратную квадрату скорости.

Как видно из формулы (73), в зависимости от величины константы К коэффициент перехода β может иметь следующие значения:

- при К = 0 коэффициент перехода β будет равен 1,

- если константа К имеет действительное положительное значение, то коэффициент перехода β будет больше или равен 1, т.е. β ≥ 1,

- если константа К имеет действительное отрицательное значение, то коэффициент перехода β будет меньше или равен 1, т.е. 0 < β ≤ 1.

Но так как константа К не зависит от величины скорости V и величины коэффициента перехода β, то для любого конкретного значения величины скорости V получается, что константа К не может быть одновременно величиной положительной величиной и отрицательной, т.е. для всех возможных значений скорости V значения коэффициента перехода β могут находиться только в диапазоне β ≥ 1 или только в диапазоне 0 < β ≤ 1.

Одним словом, β ≥ 1 и 0 < β ≤ 1 являются двумя взаимоисключающими диапазонами коэффициента перехода β, т.е. все значения коэффициента перехода β в зависимости от величины скорости V находятся только в диапазоне β ≥ 1 или в диапазоне 0 < β ≤ 1.

Основная задача заключается в выборе одного из этих двух диапазонов, в котором будет в действительности определяться величина коэффициента перехода β в зависимости от величины скорости V (если β зависит от V).

Из уравнения (73) можно получить формулу для коэффициента перехода β:

β²= 1 / [1– (К· V²)] ( 74 )

Если вернуться к формуле (63):

β²= 1 / [1– (V²/ V_x_кр²)] ( 63 )

и сравнить ее с формулой (74), то можно отметить, что:

К = 1 / V_x_кр² ( 75 )

т.е. V_x_кр² будет являться постоянной величиной, не зависящей от значений скорости V и коэффициента перехода β.

Опираясь на формулы (74) и (75), можно сказать, что в случае, когда коэффициент перехода β не равен 1, должна существовать такая величина скорости V_x_кр (действительная или мнимая) движения точки, которая была бы инвариантна во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета.

Исходя из формулы (74), в формулах для коэффициента перехода β:

- при β ≥ 1:

β_>²= 1 / [1– (V²/ v_x_кр1²)] ( 64 )

- при 0<β≤ 1:

β_<²= 1 / [1+ (V²/ v_x_кр2²)] ( 65 )

величины v_x_кр1 и v_x_кр2 будут постоянными величинами, не зависящими от величины скорости V и коэффициента перехода β, т.е.:

v_x_кр1= Const ( 76 )

v_x_кр2= Const ( 77 )

Граничное условие (при значении скорости V, равной 0, коэффициент перехода β равен 1) устанавливает, что при стремлении величины скорости V к 0 коэффициент перехода β стремится к 1, а это, согласно формулам (64) и (65), позволяет отметить, что:

v_x_кр1≠ 0 ( 78 )

v_x_кр2≠ 0 ( 79 )

А в случае, когда коэффициент перехода β не зависит от величины скорости V (т.е. при значении коэффициента перехода β = Const = 1), то:

v_x_кр1= ∞ ( 80 )

v_x_кр2= ∞ ( 81 )

2.5. Основные кинематические уравнения «специальной теории относительности в общем виде»

Подставив формулу (63) в уравнения (34), (35), (38)÷(39), (40)÷(45) и (51)÷(56), получим следующую систему уравнений:

x₁= [x₂+ (V · t₂)] / [1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2 (82 )

x₂= [x₁– (V · t_1>)] / [1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2 (83)

t₁ = {t₂+ [( V · x₂) / V_x_кр²]} / [(1– V²/ V_x_кр²)^1/2] (84)

t₂ = {t₁– [(V · x₁) / V_x_кр² ]}/ [(1– V²/ V_x_кр²)^1/2] ( 85 )

v_x₁= (v_x₂+ V) / {1 + [(V · v_x₂)/ V_x_кр²)]} ( 86 )

v_x₂= (v_x₁– V) / {1 – [(V · v_x₁)/ V_x_кр²)]} ( 87 )

v_y₁= {v_y₂·[1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x₂)/ V_x_кр²)]} ( 88 )

v_y₂= {v_y₁·[1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x₁)/ V_x_кр²)]} ( 89 )

v_z₁= {v_z₂·[1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x₂)/ V_x_кр²)]} (90)

v_z₂= {v_z₁·[1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x₁)/ V_x_кр²)]} (91)

a_x₁= {a_x₂·[1– (V²/ V_x_кр²)]^3/2}/ {1 + [(V · v_x₂)/ V_x_кр²)]}³ (92)

a_x₂= {a_x₁·[1– (V²/ V_x_кр²)]^3/2}/ {1 – [(V · v_x₁)/ V_x_кр²)]}³(93)

[{{1+[(V·v_x₂)/ V_x_кр²)]}·a_y₂}}–[(V·v_y₂·a_x₂)/ V_x_кр²]] ·[1– (V²/ V_x_кр²)]

a_y₁= ———————————————————————————— (94)

{1 + [(V · v_x₂)/ V_x_кр²)]}³

[{{1–[(V·v_x₁)/ V_x_кр²)]}·a_y₁}}+[(V·v_y₁·a_x₁)/ V_x_кр²]] ·[1– (V²/ V_x_кр²)]

a_y₂= ———————————————————————————— (95)

{1 – [(V · v_x₁)/ V_x_кр²)]}³

[{{1+[(V·v_x₂)/ V_x_кр²)]}·a_z₂}}–[(V·v_z₂·a_x₂)/ V_x_кр²]] ·[1– (V²/v V_x_кр²)]

a_z₁= ———————————————————————————— (96)

{1 + [(V · v_x₂)/ V_x_кр²)]}³

[{{1–[(V·v_x₁)/ V_x_кр²)]}·a_z₁}}+[(V·v_z₁·a_x₁)/ V_x_кр²]] ·[1– (V²/ V_x_кр²)]

a_z₂= ———————————————————————————— (97)

{1 – [(V · v_x₁)/ V_x_кр²)]}³

2.6. Основные кинематические уравнения при коэффициенте перехода β ≥ 1

Подставив формулу (64) в уравнения (34), (35), (38)÷(39), (40)÷(45) и (51)÷(56), получим следующую систему уравнений при коэффициенте перехода β= β_>:

x_1>= [x_2>+ (V · t_2>)] / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 98 )

x_2>= [x_1>– (V · t_1>)] / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 99 )

t_1> = {t_2>+ [( V · x_2>) / v_x_кр1²]} / [(1– V²/v_x_кр1²)^1/2] ( 100 )

t_2> = {t_1>– [(V · x_1>) / v_x_кр1² ]}/ [(1– V²/v_x_кр1²)^1/2] ( 101)

v_x_1>= (v_x_2>+ V) / {1 + [(V · v_x_2>)/ v_x_кр1²)]} ( 102 )

v_x_2>= (v_x_1>– V) / {1 – [(V · v_x_1>)/ v_x_кр1²)]} ( 103 )

v_y_1>= {v_y_2>·[1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x_2>)/ v_x_кр1²)]} ( 104 )

v_y_2>= {v_y_1>·[1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x_1>)/ v_x_кр1²)]} ( 105 )

v_z_1>= {v_z_2>·[1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x_2>)/ v_x_кр1²)]} ( 106 )

v_z_2>= {v_z_1>·[1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x_1>)/ v_x_кр1²)]} ( 107 )

a_x_1>= {a_x_2>·[1– (V²/ v_x_кр1²)]^3/2}/ {1 + [(V · v_x_2>)/ v_x_кр1²)]}³ ( 108 )

a_x_2>= {a_x_1>·[1– (V²/ v_x_кр1²)]^3/2}/ {1 – [(V · v_x_1>)/ v_x_кр1²)]}³( 109 )

[{{1+[(V·v_x_2>)/v_x_кр1²)]}·a_y_2>}}–[(V·v_y_2>·a_x_2>)/v_x_кр1²]] ·[1– (V²/v_x_кр1²)]

a_y1>= ———————————————————————————— (110)

{1 + [(V · v_x2>)/ v_x_кр₁²)]}³

[{{1–[(V·v_x1>)/v_x_кр₁²)]}·a_y1>}}+[(V·v_y1>·a_x1>)/v_x_кр₁²]] ·[1– (V²/v_x_кр₁²)]

a_y2>= ———————————————————————————— (111)

{1 – [(V · v_x1>)/ v_x_кр₁²)]}³

[{{1+[(V·v_x2>)/v_x_кр₁²)]}·a_z2>}}–[(V·v_z2>·a_x2>)/v_x_кр₁²]] ·[1– (V²/v_x_кр₁²)]

a_z1>= ———————————————————————————— (112)

{1 + [(V · v_x2>)/ v_x_кр₁²)]}³

[{{1–[(V·v_x1>)/v_x_кр₁²)]}·a_z1>}}+[(V·v_z1>·a_x1>)/v_x_кр₁²]] ·[1– (V²/v_x_кр₁²)]

a_z2>= ———————————————————————————— (113)

{1 – [(V · v_x1>)/ v_x_кр₁²)]}³

2.7. Основные кинематические уравнения при коэффициенте перехода 0 < β < 1

Подставив формулу (65) в уравнения (34), (35), (38)÷(39), (40)÷(45) и (51)÷(56), получим систему уравнений для случая, когда коэффициент перехода β = β_<:

x_1<= [x_2<+ (V · t_2<)] / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 114 )

x_2<= [x_1<– (V · t_1<)] / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 115 )

t_1< = {t_2<– [( V · x_2<) / v_x_кр2²]} / [(1+ V²/v_x_кр2²)^1/2] ( 116 )

t_2< = {t_1<+ [(V · x_1<) / v_x_кр2² ]}/ [(1+ V²/v_x_кр2²)^1/2] ( 117 )

v_x_1<= (v_x_2<+ V) / {1 – [(V · v_x_2<)/ v_x_кр2²)]} ( 118 )

v_x_2<= (v_x_1<– V) / {1 + [(V · v_x_1<)/ v_x_кр2²)]} ( 119 )

v_y_1<= {v_y_2<·[1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x_2<)/ v_x_кр2²)]} ( 120 )

v_y_2<= {v_y_1<·[1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x_1<)/ v_x_кр2²)]} ( 121 )

v_z_1<= {v_z_2<·[1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x_2<)/ v_x_кр2²)]} ( 122 )

v_z_2<= {v_z_1<·[1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x_1<)/ v_x_кр2²)]} ( 123 )

a_x_1<= {a_x_2<·[1+ (V²/ v_x_кр2²)]^3/2}/ {1 – [(V · v_x_2<)/ v_x_кр2²)]}³ ( 124 )

a_x_2<= {a_x_1<·[1+ (V²/ v_x_кр2²)]^3/2}/ {1 + [(V · v_x_1<)/ v_x_кр2²)]}³ ( 125 )

[{{1–[(V·v_x2<)/v_x_кр₂²)]}·a_y2<}}+[(V·v_y2<·a_x2<)/v_x_кр₂²]] ·[1+ (V²/v_x_кр₂²)]

a_y1<= ———————————————————————————— (126)

{1 – [(V · v_x2<)/ v_x_кр₂²)]}³

[{{1+[(V·v_x1<)/v_x_кр₂²)]}·a_y1<}}–[(V·v_y1<·a_x1<)/v_x_кр₂²]] ·[1+ (V²/v_x_кр₂²)]

a_y2<= ———————————————————————————— (127)

{1 + [(V · v_x1<)/ v_x_кр₂²)]}³

[{{1–[(V·v_x2<)/v_x_кр₂²)]}·a_z2<}}+[(V·v_z2<·a_x2<)/v_x_кр₂²]] ·[1+ (V²/v_x_кр₂²)]

a_z1<= ———————————————————————————— (128)

{1 – [(V · v_x2<)/ v_x_кр₂²)]}³

[{{1+[(V·v_x1<)/v_x_кр₂²)]}·a_z1<}}–[(V·v_z1<·a_x1<)/v_x_кр₂²]] ·[1+ (V²/v_x_кр₂²)]

a_z_2<= ———————————————————————————— (129)

{1 + [(V · v_x_1<)/ v_x_кр2²)]}³

К сожалению, из кинематических уравнений связи определить значение постоянной величины V_x_кр (v_x_кр1 или v_x_кр2) невозможно, поэтому придется обратиться за помощью к динамике.

3. Динамика

Для установления зависимости массы движущегося тела от скорости воспользуемся - с одной стороны - принципом относительности, утверждающим, что физические законы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, т.е. уравнения, выражающие эти законы, имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.

С другой стороны - постараемся опереться на ограничительные условия к пространству и времени, которые устанавливаются в специальной теории относительности.

Этими условиями являются однородность и изотропность пространства и однородность времени, т.е. симметрия пространства и времени.

Согласно теореме Эммы Нетер симметрии действия соответствует закон сохранения этого действия.

Теорема Эммы Нетер позволяет установить, что:

- закон сохранения механической энергии связан со свойством симметрии времени – однородностью времени (это свойство времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала отсчета времени);

- закон сохранения импульса связан со свойством симметрии пространства – однородностью пространства (это свойство проявляется в том, что физические свойства замкнутой системы и законы ее движения не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета, т.е. не изменяются при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы как целого);

- закон сохранения момента импульса связан со свойством симметрии пространства – изотропностью пространства (это свойство пространства проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не зависят от выбора направления осей координат инерциальной системы отсчета, т.е. не изменяются при повороте в пространстве замкнутой системы как целого на любой угол).

3.1. Системы уравнений для определения зависимости

массы движущегося тела от скорости

Для определения зависимости массы движущегося тела от его скорости перемещения воспользуемся:

- законом сохранения импульса: импульс замкнутой механической системы тел (на которую не действуют внешние силы) для любого момента времени является величиной постоянной;

- законом сохранения механической энергии: механическая энергия консервативной механической системы тел (у которой все внутренние силы потенциальны, а внешние силы потенциальны и стационарны) для любого момента времени является величиной постоянной, который для замкнутых механических систем принимает вид: механическая энергия замкнутой механической системы не изменяется с течением времени, если все внутренние силы, действующие в этой системе, потенциальны, а точнее - его частным случаем, когда у тел, составляющих замкнутую механическую систему, не происходит изменение потенциальной энергии (в том числе, когда тела, составляющие замкнутую механическую систему, испытывают только абсолютно упругие взаимодействия): кинетическая энергия замкнутой механической системы тел для любого момента времени является величиной постоянной.

Допустим, что зависимость массы тела от скорости его движения не меняется при изменении потенциальной энергии тела.

Предположим, что масса М(V) материальной точки, движущейся со скоростью V, равна:

М(V) = М_о· f (V) ( 130 )

где: М_о – масса рассматриваемой материальной точки в состоянии покоя;

f(V) – функция, предположительно зависящая от величины скорости V.

Исходя из формулы (130), импульс Р(V) материальной точки, движущейся со скоростью V, равен:

Р(V) = М_о· f (V) · V ( 131 )

А формула (131) позволяет записать следующее уравнение для кинетической энергии Е_к(V) материальной точки, движущейся со скоростью V:

Е_к(V) = М_о· ∫ {[ f (V) · V ] + [ f′ (V) · V²]} ·dV ( 132 )

⁰

где: f′ (V) – производная функции f (V) .

Постараемся установить зависимость массы (функции f (V)) движущегося тела от скорости его перемещения, рассмотрев взаимодействия (а точнее результаты взаимодействия) тел (материальных точек), составляющих замкнутую механическую систему и перемещающихся в пространстве только линейно.

С целью написания системы уравнений, позволяющих определить значение функции f (V), рассмотрим два простейших примера.

3.1.1. Пример № 1

Допустим, что имеются две инерциальные системы отсчета, аналогичные системам отсчета, изображенным на рис. 1, - неподвижная O₁x₁y₁z₁ и подвижная O₂x₂y₂z₂, которая движется со скоростью V параллельно оси O₁x₁ относительно системы O₁x₁y₁z₁.

Предположим, что имеется замкнутая механическая система тел, состоящая из тела 1 и тела 2 (как показано на рис. 3) имеющих массы в состоянии покоя, равные М_о1 и М_о2 соответственно.

t₂ > t₂_c

v₂₂_хк

2

V

x₁

x₂

y₂

y₁

О₂

О₁

t₂ < t₂_c

v₂₂_хн

v_21хн

2

1

V

О₂

О₁

y₂

x₂

x₁

y₁

1

v_21хк

Рис. 3

В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ тело 1 и тело 2 до некоторого момента времени t_2с двигались параллельно оси O₂x₂ по одной линии с постоянными по величине скоростями v₂₁_x_ни v₂₂_x_н соответственно.

В какой-то момент времени t_2с между телами 1 и 2 произошло абсолютно упругое прямое центральное столкновение.

Далее после столкновения в момент времени больший t_2с тела 1 и 2 стали двигаться параллельно оси O₂x₂ по одной линии с постоянными по величине скоростями v₂₁_x_ки v₂₂_x_к соответственно.

Учитывая, что между телами 1 и 2 имело место прямое центральное столкновение, и рассматривая их как материальные точки, запишем закон сохранения импульса для замкнутой механической системы тел 1 и 2 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ для моментов времени меньшего и большего, чем t_2с :

[М_о1· f (V= v₂₁_x_н) · v₂₁_x_н]+ [М_о2· f (V= v₂₂_x_н) · v₂₂_x_н] = [М_о1· f (V= v₂₁_x_к) · v₂₁_x_к]+ [М_о2· f (V= v₂₂_x_к) · v₂₂_x_к] ( 133 )

А операясь на то, что столкновение тел 1 и 2 носило абсолютно упругий характер, можно записать закон сохранения механической энергии для замкнутой механической системы тел 1 и 2 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂для моментов времени меньшего и большего, чем t_2с, предполагая, что величины потенциальных энергий тел 1 и 2 остаются неизменными до и после столкновения:

v₂₁_x_н v₂₂_x_н

{ М_о1· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0 0}

v₂₁_x_к v₂₂_x_к

{ М_о1· ∫ {[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2· ∫ {[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} (134)

^{0
0}

Все ранее сказанное о движении тел 1 и 2 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ можно сказать и о движении тел 1 и 2 в неподвижной системе отчета O₁x₁y₁z₁, за исключением того, что:

- столкновение между телами 1 и 2 происходит в момент времени t_1с, соответствующий моменту времени t_2с в системе O₂x₂y₂z₂,

- тело 1 имеет соответственно до и после столкновения скорости v₁₁_x_ни v₁₁_x_к, соответствующие скоростям v₂₁_x_ни v₂₁_x_к,

- тело 2 имеет соответственно до и после столкновения скорости v₁₂_x_ни v₁₂_x_к, соответствующие скоростям v₂₂_x_ни v₂₂_x_к.

Аналогично формулам (133) и (134) можно записать закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии для замкнутой механической системы тел 1 и 2 в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁для моментов времени меньшего и большего, чем t_1с, также предполагая, что величины потенциальных энергий тел 1 и 2 остаются неизменными до и после столкновения:

[М_о1· f (V= v₁₁_x_н) · v₁₁_x_н]+ [М_о2· f (V= v₁₂_x_н) · v₁₂_x_н] = [М_о1· f (V= v₁₁_x_к) · v₁₁_x_к]+ [М_о2· f (V= v₁₂_x_к) · v₁₂_x_к] ( 135 )

v₁₁_x_н v₁₂_x_н

{ М_о1· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0
0}

v₁₁_x_к v₁₂_x_к

{ М_о1· ∫ {[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2· ∫ {[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} (136)

^{0
0}

3.1.2. Пример № 2

Пример № 2 подобен примеру № 1 и отличается от него только тем, что в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂тела 1 и тела 2 двигаются не параллельно оси O₂x₂, а параллельно оси O₂y₂, как показано на рис. 4.

В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ тела 1 и тела 2 до некоторого момента времени t_2с двигались параллельно оси O₂y₂ по одной линии с постоянными по величине скоростями v₂₁_y_ни v₂₂_y_н соответственно.

О₁

Подпись: 2

y₁

Рис. 4

После столкновения в момент времени больший t_2с тела 1 и 2 стали двигаться параллельно оси O₂y₂ по одной линии с постоянными по величине скоростями v₂₁_y_ки v₂₂_y_к соответственно.

Тогда можно записать закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии для замкнутой механической системы тел 1 и 2 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂для моментов времени меньшего и большего, чем t_2с, предполагая, что величины потенциальных энергий тел 1 и 2 остаются неизменными до и после столкновения:

[М_о1· f (V= v₂₁_y_н) · v₂₁_y_н]+ [М_о2· f (V= v₂₂_y_н) · v₂₂_y_н] = [М_о1· f (V= v₂₁_y_к) · v₂₁_y_к]+ [М_о2· f (V= v₂₂_y_к) · v₂₂_y_к] ( 137 )

v₂₁_y_н v₂₂_y_н

{ М_о1· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0 0}

v₂₁_y_к v₂₂_y_к

{ М_о1· ∫ {[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2· ∫ {[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} (138)

^{0
0}

Аналогично можно записать закон сохранения импульса (два уравнения для проекций импульса на оси O₁x₁и O₁y₁) и закон сохранения механической энергии для замкнутой механической системы тел 1 и 2 в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁для моментов времени меньшего и большего, чем t_1с, предполагая, что величины потенциальных энергий тел 1 и 2 остаются неизменными до и после столкновения:

{М_о1· f [V = (v₁₁_y_н²+ V²)^1/2] · V }+ {М_о2· f [V = (v₁₂_y_н²+ V²)^1/2] · V } =

{М_о1· f [V = (v₁₁_y_к²+ V²)^1/2] · V }+ {М_о2· f [V = (v₁₂_y_к²+ V²)^1/2] · V } ( 139 )

{М_о1· f [V = (v₁₁_y_н²+ V²)^1/2] · v₁₁_y_н}+ {М_о2· f [V = (v₁₂_y_н²+ V²)^1/2] · v₁₂_y_н} =

{М_о1· f [V = (v₁₁_y_к²+ V²)^1/2] · v₁₁_y_к}+ {М_о2· f [V = (v₁₂_y_к²+ V²)^1/2] · v₁₂_y_к} ( 140 )

(v₁₁_y_н²+ V²)^1/2 (v₁₂_y_н²+ V²)^1/2

{ М_о1· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0
0}

(v₁₁_y_к²+ V²)^1/2 (v₁₂_y_к²+ V²)^1/2

{ М_о1· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} ( 141)

^{0
0}

3.1.3. Зависимость массы движущегося тела от скорости

С целью определения зависимости для массы движущегося тела составим следующую систему уравнений:

[М_о1· f (V= v₂₁_x_н) · v₂₁_x_н]+ [М_о2· f (V= v₂₂_x_н) · v₂₂_x_н] = [М_о1· f (V= v₂₁_x_к) · v₂₁_x_к]+ [М_о2· f (V= v₂₂_x_к) · v₂₂_x_к] ( 133 )

v₂₁_x_н v₂₂_x_н

{ М_о1· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0
0}

v₂₁_x_к v₂₂_x_к

{ М_о1· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} ( 134)

^{0
0}

[М_о1· f (V= v₁₁_x_н) · v₁₁_x_н]+ [М_о2· f (V= v₁₂_x_н) · v₁₂_x_н] = [М_о1· f (V= v₁₁_x_к) · v₁₁_x_к]+ [М_о2· f (V= v₁₂_x_к) · v₁₂_x_к] ( 135 )

v₁₁_x_н v₁₂_x_н

{ М_о1· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0
0}

v₁₁_x_к v₁₂_x_к

{ М_о1· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} ( 136)

^{0
0}

[М_о1· f (V= v₂₁_y_н) · v₂₁_y_н]+ [М_о2· f (V= v₂₂_y_н) · v₂₂_y_н] = [М_о1· f (V= v₂₁_y_к) · v₂₁_y_к]+ [М_о2· f (V= v₂₂_y_к) · v₂₂_y_к] ( 137 )

v₂₁_y_н v₂₂_y_н

{ М_о1· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0
0}

v₂₁_y_к v₂₂_y_к

{ М_о1· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} (138)

^{0
0}

{М_о1· f [V = (v₁₁_y_н²+ V²)^1/2] · V }+ {М_о2· f [V = (v₁₂_y_н²+ V²)^1/2] · V } =

{М_о1· f [V = (v₁₁_y_к²+ V²)^1/2] · V }+ {М_о2· f [V = (v₁₂_y_к²+ V²)^1/2] · V } ( 139 )

{М_о1· f [V = (v₁₁_y_н²+ V²)^1/2] · v₁₁_y_н}+ {М_о2· f [V = (v₁₂_y_н²+ V²)^1/2] · v₁₂_y_н} =

{М_о1· f [V = (v₁₁_y_к²+ V²)^1/2] · v₁₁_y_к}+ {М_о2· f [V = (v₁₂_y_к²+ V²)^1/2] · v₁₂_y_к} ( 140 )

(v₁₁_y_н²+ V²)^1/2 (v₁₂_y_н²+ V²)^1/2

{ М_о1· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0
0}

(v₁₁_y_к²+ V²)^1/2 (v₁₂_y_к²+ V²)^1/2

{ М_о1· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} ( 141)

^{0
0}

В эту систему уравнений нужно также добавить уравнения связи между проекциями скоростей тел 1 и 2 в подвижной O₂x₂y₂z₂ и неподвижной O₁x₁y₁z₁ системах отсчета, записанные исходя из формул (86) и (88):

v₁₁_x_н= (v₂₁_x_н+ V) / {1 + [(V · v₂₁_x_н)/ V_x_кр²)]} ( 142 )

v₁₂_x_н= (v₂₂_x_н+ V) / {1 + [(V · v₂₂_x_н)/ V_x_кр²)]} ( 143 )

v₁₁_x_к= (v₂₁_x_к+ V) / {1 + [(V · v₂₁_x_к)/ V_x_кр²)]} ( 144 )

v₁₂_x_к= (v₂₂_x_к+ V) / {1 + [(V · v₂₂_x_к)/ V_x_кр²)]} ( 145 )

v₁₁_y_н= v₂₁_y_н·[1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2( 146 )

v₁₂_y_н= v₂₂_y_н·[1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2 ( 147 )

v₁₁_y_к= v₂₁_y_к·[1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2 ( 148 )

v₁₂_y_к= v₂₂_y_к·[1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2 ( 149 )

И так, имеется 17 уравнений, 12 неизвестных значений и одна неизвестная функция.

Единственной функцией f(V), способной удовлетворить всем требованиям 17 уравнений, является:

f (V)= 1 / [1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2 ( 150 )

Тогда, с учетом уравнений (130)÷(132), можно записать зависимости для массы М(V), импульса Р(V)и кинетической энергии Е_к(V)движущегося тела со скоростью V:

М(V)= М_о / [1– (V²/ V_кр²)]^1/2 ( 151 )

Р(V)= ( М_о · V) / [1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2 ( 152 )

Е_к(V)= М_о· v_x_кр1²· {{1 / [1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2} – 1} ( 153 )

3.1.4. Зависимость массы движущегося тела от скорости при коэффициенте перехода β>1

В случае, когда значение коэффициента перехода β находится в диапазоне β>1 , то исходя из формул (150)÷(153) с учетом уравнения (60) зависимости для функции f(V)_>, массы М(V)_>, импульса Р(V)_>, кинетической энергии Е_к(V)_>движущегося тела со скоростью V, можно записать:

f (V)_>= 1 / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 154 )

М(V)_>= М_о / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 155 )

Р(V)_>= ( М_о · V) / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 156 )

Е_к(V)_>= М_о· v_x_кр1²· {{1 / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2} – 1} ( 157 )

3.1.4.1. Проверка правильности выбора формулы (150) при β>1

(для примеров № 1 и № 2)

Сначала перепишем формулы (133)÷(141) с учетом формул (60) и (154)÷(157):

{(М_о1 · v₂₁_x_н) / [1– (v₂₁_x_н²/ v_x_кр1²)]^1/2}+ {(М_о2 · v₂₂_x_н)/[1– (v₂₂_x_н²/ v_x_кр1²)]^1/2}= {(М_о1 · v₂₁_x_к) / [1– (v₂₁_x_к²/v_x_кр1²)]^1/2}+ {(М_о2 · v₂₂_x_к)/ [1– (v₂₂_x_к²/v_x_кр1²) ]^1/2} (158)

{М_о1 / [1– (v₂₁_x_н²/ v_x_кр1²)]^1/2}+ {М_о2 /[1– (v₂₂_x_н²/ v_x_кр1²)]^1/2}= {М_о1/ [1– (v₂₁_x_к²/ v_x_кр1²)]^1/2}+ {М_о2 / [1– (v₂₂_x_к²/ v_x_кр1²)]^1/2} ( 159 )

{(М_о1 · v₁₁_x_н) / [1– (v₁₁_x_н²/ v_x_кр1²)]^1/2}+ {(М_о2 · v₁₂_x_н) / [1– (v₁₂_x_н²/ v_x_кр1²)]^1/2}= {(М_о1· v₁₁_x_к)/[1– (v₂₁_x_к²/v_x_кр1²)]^1/2}+ {(М_о2 · v₁₂_x_к)/[1– (v₁₂_x_к²/v_x_кр1²)]^1/2} ( 160 )

{М_о1 / [1– (v₁₁_x_н²/ v_x_кр1²)]^1/2}+ {М_о2 / [1– (v₁₂_x_н²/ v_x_кр1²)]^1/2}={М_о1 / [1– (v₂₁_x_к²/ v_x_кр1²)]^1/2}+ {М_о2/ [1– (v₁₂_x_к²/ v_x_кр1²)]^1/2} ( 161 )

{(М_о1 · v₂₁_y_н) / [1– (v₂₁_y_н²/ v_x_кр1²)]^1/2}+ {(М_о2 · v₂₂_y_н) / [1– (v₂₂_y_н²/ v_x_кр1²)]^1/2}= {(М_о1· v₂₁_y_к) / [1– (v₂₁_y_к²/v_x_кр1²)]^1/2}+ {(М_о2 · v₂₂_y_к) / [1– (v₂₂_y_к²/v_x_кр1²)]^1/2} (162)

{М_о1 / [1– (v₂₁_y_н²/ v_x_кр1²)]^1/2}+ {М_о2 / [1– (v₂₂_y_н²/ v_x_кр1²)]^1/2}={М_о1 / [1– (v₂₁_y_к²/ v_x_кр1²)]^1/2}+ {М_о2/ [1– (v₂₂_y_к²/ v_x_кр1²)]^1/2} ( 163 )

{(М_о1 · V)/{1– [(v₁₁_y_н²+V²)/v_x_кр1²]}^1/2} +{(М_о2 · V)/{1– [(v₁₂_y_н²+V²)/v_x_кр1²]}^1/2} = {(М_о1·V)/{1– [(v₁₁_y_к²+V²)/v_x_кр1²]}^1/2}+{(М_о2·V)/{1– [(v₁₂_y_к²+V²)/v_x_кр1²]}^1/2} (164)

{(М_о1·v₁₁_y_н)/{1–[(v₁₁_y_н²+V²)/v_x_кр1²]}^1/2}+{(М_о2·v₁₂_y_н)/{1– [(v₁₂_y_н²+V²)/v_x_кр1²]}^1/2} =

{(М_о1·v₁₁_y_к)/{1–[(v₁₁_y_к²+V²)/v_x_кр1²]}^1/2}+{(М_о2·v₁₂_y_к)/{1–[(v₁₂_y_к²+V²)/v_x_кр1²]}^1/2}(165)

{М_о1 /{1– [(v₁₁_y_н²+ V²)/ v_x_кр1²]}^1/2} +{М_о2/{1– [(v₁₂_y_н²+ V²)/ v_x_кр1²]}^1/2} =

{М_о1 / {1– [(v₁₁_y_к²+V²)/ v_x_кр1²]}^1/2} + {М_о2 /{1– [ (v₁₂_y_к²+V²)/ v_x_кр1²]}^1/2} ( 166 )

Где, исходя из формул (60) и (142)÷(149):

v₁₁_x_н= (v₂₁_x_н+ V) / {1 + [(V · v₂₁_x_н)/ v_x_кр1²)]} ( 167 )

v₁₂_x_н= (v₂₂_x_н+ V) / {1 + [(V · v₂₂_x_н)/ v_x_кр1²)]} ( 168 )

v₁₁_x_к= (v₂₁_x_к+ V) / {1 + [(V · v₂₁_x_к)/ v_x_кр1²)]} ( 169 )

v₁₂_x_к= (v₂₂_x_к+ V) / {1 + [(V · v₂₂_x_к)/ v_x_кр1²)]} ( 170 )

v₁₁_y_н= v₂₁_y_н·[1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2( 171 )

v₁₂_y_н= v₂₂_y_н·[1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 172 )

v₁₁_y_к= v₂₁_y_к·[1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 173 )

v₁₂_y_к= v₂₂_y_к·[1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 174 )

Предположим, что М_о1 = 1 , М_о2= 0,5 , V/ v_x_кр1= 0,5 , v₂₁_x_н/ v_x_кр1= = v₂₁_y_н/ v_x_кр1= 0,9 , v₂₂_x_н/ v_x_кр1= v₂₂_y_н/ v_x_кр1= 0,6 .

Тогда числовые расчеты дают следующие результаты для примера № 1:

I. В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂:

1) тело 1 имело:

а) до столкновения скорость v₂₁_x_н/ v_x_кр1= 0,9 , массу М_21н = 2,294157338706, импульс Р_21н/ v_x_кр1= 2,064741604835, кинетическую энергию Е_к21н/ v_x_кр1²= 1,294157338706;

б) после столкновения v₂₁_x_к/ v_x_кр1= 0,7360143377, М_21к = 1,477179174242, Р_21к/ v_x_кр1= 1,087225051595, Е_к21к/ v_x_кр1²= 0,477179174242;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v₂₂_x_н/ v_x_кр1= 0,6 , М_22н = 0,625 , Р_22н/ v_x_кр1= 0,375, Е_к22н/ v_x_кр1²= 0,125;

б) после столкновения v₂₂_x_к/ v_x_кр1= 0,937959108239, М_22к = 1,441978164463, Р_22к/ v_x_кр1= 1,35251655324, Е_к22к/ v_x_кр1²= 0,941978164463;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_21н + М_22н) = 2,919157338706 , импульс (Р_21н+ Р_22н) / v_x_кр1= 2,439741604835, кинетическую энергию (Е_к21н + Е_к22н) /v_x_кр1²= 1,419157338706;

б) после столкновения массу (М_21к + М_22к) = 2,919157338706 , импульс (Р_21к+ Р_22к)/ v_x_кр1= 2,439741604835, кинетическую энергию (Е_к21к + Е_к22к) / v_x_кр1² = 1,419157338706;

II. В неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁:

1) тело 1 имело:

а) до столкновения v₁₁_x_н/ v_x_кр1= 0,965517241379 , массу М_11н = 3,841143835489, импульс Р_11н/ v_x_кр1= 3,708690599782, кинетическую энергию Е_к11н/ v_x_кр1²= 2,841143835489;

б) после столкновения v₁₁_x_к/ v_x_кр1= 0,903514517939, М_11к = 2,333409263988, Р_11к/ v_x_кр1= 2,108269146306, Е_к11к/ v_x_кр1²= 1,333409263988;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v₁₂_x_н/ v_x_кр1= 0,846153846154 , М_12н = 0,938194187433 , Р_12н/ v_x_кр1= 0,793856620136, Е_к12н/ v_x_кр1²= 0,438194187433;

б) после столкновения v₁₂_x_к/ v_x_кр1= 0,978882996844, М_12к = 2,445928758933, Р_12к/ v_x_кр1= 2,394278073612, Е_к12к/ v_x_кр1²= 1,945928758933;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_11н + М_12н) = 4,779338022922 , импульс (Р_11н+ Р_12н) / v_x_кр1= 4,502547219918, кинетическую энергию (Е_к11н + Е_к12н) / v_x_кр1²= 3,279338022922 ;

б) после столкновения массу (М_11к + М_12к) = 4,779338022922 , импульс (Р_11к+ Р_12к)/ v_x_кр1= 4,502547219918, кинетическую энергию (Е_к11к + Е_к12к) / v_x_кр1² = 3,279338022922.

Для примера № 2 числовые расчеты дают следующие результаты:

I. В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂:

1) тело 1 имело:

а) до столкновения скорость v₂₁_y_н/ v_x_кр1= 0,9 , массу М_21н = 2,294157338706, импульс Р_21н/ v_x_кр1= 2,064741604835, кинетическую энергию Е_к21н/ v_x_кр1²= 1,294157338706;

б) после столкновения v₂₁_y_к/ v_x_кр1= 0,7360143377, М_21к = 1,477179174242, Р_21к/ v_x_кр1= 1,087225051595, Е_к21к/ v_x_кр1²= 0,477179174242;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v₂₂_y_н/ v_x_кр1= 0,6 , М_22н = 0,625 , Р_22н/ v_x_кр1= 0,375, Е_к22н/ v_x_кр1²= 0,125;

б) после столкновения v₂₂_y_к/ v_x_кр1= 0,937959108239, М_22к = 1,441978164463, Р_22к/ v_x_кр1= 1,35251655324, Е_к22к/ v_x_кр1²= 0,941978164463;

3) система тел 1 и 2 имела:

II. В неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁:

1) тело 1 имело:

а) до столкновения проекции скорости v₁₁_x_н/ v_x_кр1= 0,5 и v₁₁_y_н/ v_x_кр1= 0,779422863406 , массу М_11н = 2,64906471413 , проекции импульса Р₁₁_x_н/ v_x_кр1= 1,324532357065 и Р₁₁_y_н/ v_x_кр1= 2,064741604835, кинетическую энергию Е_к11н/ v_x_кр1²= 1,64906471413;

б) после столкновения v₁₁_x_к/ v_x_кр1= 0,5 , v₁₁_y_к/ v_x_кр1= 0,637407113998 , М_11к = 1,70569958778 , Р₁₁_x_к/ v_x_кр1= 0,85284979389 , Р₁₁_y_к/ v_x_кр1= 1,087225051595 , Е_к11к/ v_x_кр1²= 0,70569958778;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v₁₂_x_н/ v_x_кр1= 0,5 , v₁₂_y_н/ v_x_кр1= 0,519615242271 , М_12н = 0,721687836487 , Р₁₂_x_н/ v_x_кр1= 0,360843918244 , Р₁₂_y_н/v_x_кр1= 0,375 , Е_к12н/ v_x_кр1²= 0,221687836487;

б) после столкновения v₁₂_x_к/ v_x_кр1= 0,5, v₁₂_y_к/ v_x_кр1= 0,812296415446, М_12к = 1,665052962837, Р₁₂_x_к/v_x_кр1= 0,832526481418 , Р₁₂_y_к/v_x_кр1= 1,35251655324 , Е_к12к/ v_x_кр1²= 1,165052962837;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_11н + М_12н) = 3,370752550617 , проекции импульса (Р₁₁_x_н+ Р₁₂_x_н) / v_x_кр1= 1,685376275309 и (Р₁₁_y_н+ Р₁₂_y_н) / v_x_кр1= 2,439741604835 , кинетическую энергию (Е_к11н + Е_к12н) / v_x_кр1²= 1,870752550617;

б) после столкновения массу (М_11к + М_12к) = 3,370752550617 , проекции импульса (Р₁₁_x_к+ Р₁₂_x_к)/ v_x_кр1= 1,685376275309 и (Р₁₁_y_к+ Р₁₂_y_к)/ v_x_кр1= 2,439741604835 , кинетическую энергию (Е_к11к + Е_к12к) / v_x_кр1² = 1,870752550617.

По результатам расчета можно сделать следующий вывод: в примерах № 1 и № 2 в подвижной O₂x₂y₂z₂ и неподвижной O₁x₁y₁z₁ системах отсчета до и после столкновения масса, импульс и кинетическая энергия механической системы тел 1 и 2 остаются неизменными.

Следовательно, формулы (150)÷(153) в случае, когда коэффициент перехода β > 1, удовлетворяют требованиям системы уравнений (133)÷(141).

3.1.5. Зависимость массы движущегося тела от скорости при коэффициенте перехода 0 < β < 1

В случае, когда значение коэффициента перехода β находится в диапазоне 0 < β < 1 , то, исходя из формул (150)÷(153) с учетом уравнения (61) зависимости для функции f(V)_<, массы М(V)_<, импульса Р(V)_<, кинетической энергии Е_к(V)_<движущегося тела со скоростью V, можно записать:

f (V)_<= 1 / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 175 )

М(V)_<= М_о / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 176 )

Р(V)_<= ( М_о · V) / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 177 )

Е_к(V)_<= М_о· v_x_кр2²· { 1 – {1 / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2}} ( 178 )

3.1.5.1. Проверка правильности выбора формулы (150) при 0 < β < 1

(для примеров № 1 и № 2)

Сначала перепишем формулы (133)÷(141) с учетом формул (61) и (175)÷(178):

{(М_о1 · v₂₁_x_н) / [1+ (v₂₁_x_н²/ v_x_кр2²)]^1/2}+ {(М_о2 · v₂₂_x_н)/[1+ (v₂₂_x_н²/ v_x_кр2²)]^1/2}= {(М_о1 · v₂₁_x_к)/[1+ (v₂₁_x_к²/v_x_кр2²)]^1/2}+ {(М_о2 · v₂₂_x_к)/[1+ (v₂₂_x_к²/v_x_кр2²) ]^1/2} ( 179 )

{М_о1 / [1+ (v₂₁_x_н²/ v_x_кр2²)]^1/2}+ {М_о2 /[1+ (v₂₂_x_н²/ v_x_кр2²)]^1/2}= {М_о1/ [1+ (v₂₁_x_к²/ v_x_кр2²)]^1/2}+ {М_о2 / [1+ (v₂₂_x_к²/ v_x_кр2²)]^1/2} ( 180 )

{(М_о1 · v₁₁_x_н) / [1+ (v₁₁_x_н²/ v_x_кр2²)]^1/2}+ {(М_о2 · v₁₂_x_н) / [1+ (v₁₂_x_н²/ v_x_кр2²)]^1/2}= {(М_о1· v₁₁_x_к)/[1+ (v₂₁_x_к²/v_x_кр2²)]^1/2}+ {(М_о2 · v₁₂_x_к)/[1+ (v₁₂_x_к²/v_x_кр2²)]^1/2} ( 181 )

{М_о1 / [1+ (v₁₁_x_н²/ v_x_кр2²)]^1/2}+ {М_о2 / [1+ (v₁₂_x_н²/ v_x_кр2²)]^1/2}={М_о1 / [1+ (v₂₁_x_к²/ v_x_кр2²)]^1/2}+ {М_о2/ [1+ (v₁₂_x_к²/ v_x_кр2²)]^1/2} ( 182 )

{(М_о1 · v₂₁_y_н) / [1+ (v₂₁_y_н²/ v_x_кр2²)]^1/2}+ {(М_о2 · v₂₂_y_н) / [1+ (v₂₂_y_н²/ v_x_кр2²)]^1/2}= {(М_о1· v₂₁_y_к) / [1+ (v₂₁_y_к²/v_x_кр2²)]^1/2}+ {(М_о2 · v₂₂_y_к) / [1+ (v₂₂_y_к²/v_x_кр2²)]^1/2} (183)

{М_о1 / [1+ (v₂₁_y_н²/ v_x_кр2²)]^1/2}+ {М_о2 / [1+ (v₂₂_y_н²/ v_x_кр2²)]^1/2}={М_о1 / [1+ (v₂₁_y_к²/ v_x_кр2²)]^1/2}+ {М_о2/ [1+ (v₂₂_y_к²/ v_x_кр2²)]^1/2} ( 184 )

{(М_о1 · V)/{1+ [(v₁₁_y_н²+V²)/v_x_кр2²]}^1/2} +{(М_о2 · V)/{1+ [(v₁₂_y_н²+V²)/v_x_кр2²]}^1/2} = {(М_о1·V)/{1+ [(v₁₁_y_к²+V²)/v_x_кр2²]}^1/2}+{(М_о2·V)/{1+ [(v₁₂_y_к²+V²)/v_x_кр2²]}^1/2} (185)

{(М_о1·v₁₁_y_н)/{1+[(v₁₁_y_н²+V²)/v_x_кр2²]}^1/2}+{(М_о2·v₁₂_y_н)/{1+ [(v₁₂_y_н²+V²)/v_x_кр2²]}^1/2} =

{(М_о1·v₁₁_y_к)/{1+[(v₁₁_y_к²+V²)/v_x_кр2²]}^1/2}+{(М_о2·v₁₂_y_к)/{1+[(v₁₂_y_к²+V²)/v_x_кр2²]}^1/2}(186)

{М_о1 /{1+ [(v₁₁_y_н²+ V²)/ v_x_кр2²]}^1/2} +{М_о2/{1+ [(v₁₂_y_н²+ V²)/ v_x_кр2²]}^1/2} =

{М_о1 / {1+ [(v₁₁_y_к²+V²)/ v_x_кр2²]}^1/2} + {М_о2 /{1+ [ (v₁₂_y_к²+V²)/ v_x_кр2²]}^1/2} ( 187 )

Где, исходя из формул (61) и (142)÷(149):

v₁₁_x_н= (v₂₁_x_н+ V) / {1 – [(V · v₂₁_x_н)/ v_x_кр2²)]} ( 188 )

v₁₂_x_н= (v₂₂_x_н+ V) / {1 – [(V · v₂₂_x_н)/ v_x_кр2²)]} ( 189 )

v₁₁_x_к= (v₂₁_x_к+ V) / {1 – [(V · v₂₁_x_к)/ v_x_кр2²)]} ( 190 )

v₁₂_x_к= (v₂₂_x_к+ V) / {1 – [(V · v₂₂_x_к)/ v_x_кр2²)]} ( 191 )

v₁₁_y_н= v₂₁_y_н·[1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2( 192 )

v₁₂_y_н= v₂₂_y_н·[1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 193 )

v₁₁_y_к= v₂₁_y_к·[1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 194 )

v₁₂_y_к= v₂₂_y_к·[1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 195 )

Предположим, что М_о1 = 1 , М_о2= 0,5 , V/ v_x_кр2= 0,5 , v₂₁_x_н/ v_x_кр2= = v₂₁_y_н/ v_x_кр2= 0,9 , v₂₂_x_н/ v_x_кр2= v₂₂_y_н/ v_x_кр2= 0,6 .

Тогда числовые расчеты дают следующие результаты для примера № 1:

I. В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂:

1) тело 1 имело:

а) до столкновения скорость v₂₁_x_н/ v_x_кр2= 0,9 , массу М_21н = 0,743294146247 , импульс Р_21н/ v_x_кр2= 0,668964731622 , кинетическую энергию Е_к21н/ v_x_кр2²= 0,256705853753;

б) после столкновения v₂₁_x_к/ v_x_кр2= 0,691099932748, М_21к = 0,822656908881, Р_21к/ v_x_кр2= 0,568538134403, Е_к21к/ v_x_кр2²= 0,177343091119;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v₂₂_x_н/ v_x_кр2= 0,6 , М_22н = 0,428746462856 , Р_22н/ v_x_кр2= 0,257247877714, Е_к22н/ v_x_кр2²= 0,071253537144;

б) после столкновения v₂₂_x_к/ v_x_кр2= 1,023729712365, М_22к = 0,349383700222 , Р_22к/ v_x_кр2= 0,357674474934 , Е_к22к/ v_x_кр2²= 0,150616299778;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_21н + М_22н) = 1,172040609103 , импульс (Р_21н+ Р_22н) / v_x_кр2= 0,926212609336 , кинетическую энергию (Е_к21н + Е_к22н) / v_x_кр2²= 0,327959390897;

б) после столкновения массу (М_21к + М_22к) = 1,172040609103 , импульс (Р_21к+ Р_22к)/ v_x_кр2= 0,926212609336 , кинетическую энергию (Е_к21к + Е_к22к) / v_x_кр2² = 0,327959390897;

II. В неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁:

1) тело 1 имело:

а) до столкновения скорость v₁₁_x_н/ v_x_кр2= 2,545454545455 , массу М_11н = 0,365652372423 , импульс Р_11н/ v_x_кр2= 0,93075149344 , кинетическую энергию Е_к11н/ v_x_кр2²= 0,634347627577;

б) после столкновения v₁₁_x_к/ v_x_кр2= 1,820001331727 , М_11к =0,481548724902, Р_11к/v_x_кр2= 0,876419320614 , Е_к11к/ v_x_кр2²= 0,518451275098;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v₁₂_x_н/ v_x_кр2= 1,571428571429 , М_12н = 0,268437746097 , Р_12н/ v_x_кр2= 0,421830743866 , Е_к12н/ v_x_кр2²= 0,231562253903;

б) после столкновения v₁₂_x_к/ v_x_кр2= 3,121532492927 , М_12к = 0,152541393617, Р_12к/ v_x_кр2= 0,476162916693 , Е_к12к/ v_x_кр2²= 0,347458606383;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_11н + М_12н) = 0,63409011852 , импульс (Р_11н+ Р_12н) / v_x_кр2= 1,352582237306 , кинетическую энергию (Е_к11н + Е_к12н) / v_x_кр2²= 0,86590988148;

б) после столкновения массу (М_11к + М_12к) = 0,63409011852 , импульс (Р_11к+ Р_12к)/ v_x_кр2= 1,352582237306 , кинетическую энергию (Е_к11к + Е_к12к) / v_x_кр2² = 0,86590988148.

Для примера № 2 числовые расчеты дают следующие результаты:

I. В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂:

1) тело 1 имело:

а) до столкновения скорость v₂₁_y_н/ v_x_кр2= 0,9 , массу М_21н = 0,743294146247, импульс Р_21н/ v_x_кр2= 0,668964731622 , кинетическую энергию Е_к21н/ v_x_кр2²= 0,256705853753;

б) после столкновения v₂₁_y_к/ v_x_кр2= 0,691099932748, М_21к = 0,822656908881, Р_21к/ v_x_кр2= 0,568538134403, Е_к21к/ v_x_кр2²= 0,177343091119;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v₂₂_y_н/ v_x_кр2= 0,6 , М_22н = 0,428746462856 , Р_22н/ v_x_кр2= 0,257247877714, Е_к22н/ v_x_кр2²= 0,071253537144;

б) после столкновения v₂₂_y_к/ v_x_кр2= 1,023729712365, М_22к = 0,349383700222 , Р_22к/ v_x_кр2= 0,357674474934 , Е_к22к/ v_x_кр2²= 0,150616299778 ;

3) система тел 1 и 2 имела:

б) после столкновения массу (М_21к + М_22к) = 1,172040609103, импульс (Р_21к+ Р_22к)/ v_x_кр2= 0,926212609336 , кинетическую энергию (Е_к21к + Е_к22к) / v_x_кр2² = 0,327959390897;

II. В неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁:

1) тело 1 имело:

а) до столкновения проекции скорости v₁₁_x_н/ v_x_кр2= 0,5 и v₁₁_y_н/ v_x_кр2= 1,006230589875 , массу М_11н = 0,664822495315 , проекции импульса Р₁₁_x_н/ v_x_кр2= 0,332411247657 и Р₁₁_y_н/ v_x_кр2= 0,668964731622, кинетическую энергию Е_к11н/ v_x_кр2²= 0,335177504685;

б) после столкновения проекции скорости v₁₁_x_к/ v_x_кр2= 0,5 и v₁₁_y_к/ v_x_кр2= 0,772673214435 , М_11к = 0,735806708167 , Р₁₁_x_к/ v_x_кр2= 0,367903354084 , Р₁₁_y_к/ v_x_кр2= 0,568538134403 , Е_к11к/ v_x_кр2²= 0,264193291833;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v₁₂_x_н/ v_x_кр2= 0,5 , v₁₂_y_н/ v_x_кр2= 0,67082039325 , М_12н = 0,383482494424 , Р₁₂_x_н/ v_x_кр2= 0,191741247212 , Р₁₂_y_н/ v_x_кр2= 0,257247877714 , Е_к12н/ v_x_кр2²= 0,116517505576;

б) после столкновения v₁₂_x_к/ v_x_кр2= 0,5, v₁₂_y_к/ v_x_кр2= 1,144564613718, М_12к = 0,312498281571 , Р₁₂_x_к/ v_x_кр2= 0,156249140785 , Р₁₂_y_к/ v_x_кр2= 0,357674474934 , Е_к12к/ v_x_кр2²= 0,187501718429;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_11н + М_12н) = 1,048304989738 , проекции импульса (Р₁₁_x_н+ Р₁₂_x_н) / v_x_кр2= 0,524152494869 и (Р₁₁_y_н+ Р₁₂_y_н) / v_x_кр2= 0,926212609336 , кинетическую энергию (Е_к11н + Е_к12н) / v_x_кр2²= 0,451695010262;

б) после столкновения массу (М_11к + М_12к) = 1,048304989738 , проекции импульса (Р₁₁_x_к+ Р₁₂_x_к)/ v_x_кр2= 0,524152494869 и (Р₁₁_y_к+ Р₁₂_y_к)/ v_x_кр2= 0,926212609336 , кинетическую энергию (Е_к11к + Е_к12к) / v_x_кр2² = 0,451695010262.

По результатам расчета можно сделать следующий вывод: в примерах № 1 и № 2 в системах отсчета подвижной O₂x₂y₂z₂ и неподвижной O₁x₁y₁z₁ до и после столкновения масса, импульс и кинетическая энергия механической системы тел 1 и 2 остаются неизменными.

Следовательно, формулы (175)÷(178) в случае, когда коэффициент перехода 0 < β < 1 , удовлетворяют требованиям системы уравнений (133)÷(141).

3.1.6. Сравнение формул (155)÷(157) с формулами (176)÷(178).

О зависимостях (155)÷(157):

М(V)_>= М_о / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 155 )

Р(V)_>= ( М_о · V) / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 156 )

Е_к(V)_>= М_о· v_x_кр1²· {{1 / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2} – 1} ( 157 )

для массы М(V)_>, импульса Р(V)_>и кинетической энергии Е_к(V)_>движущегося тела со скоростью V в случае, когда коэффициент перехода β > 1, можно сказать следующее:

- при значениях скорости V, несоизмеримо малых по сравнению со скоростью v_x_кр1:

М(V)_>= М_о, Р(V)_>= М_о · V , Е_к(V)_>= (М_о· V²) /2 ;

- при V = v_x_кр1: М(V)_>= ∞ , Р(V)_>= ∞ , Е_к(V)_>= ∞ ;

- при V < v_x_кр1: М(V)_>, Р(V)_>и Е_к(V)_>- имеют действительные значения;

- при V > v_x_кр1: М(V)_>, Р(V)_>и Е_к(V)_> - действительных значений не имеют.

Аналогично о зависимостях (176)÷(178):

М(V)_<= М_о / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 176 )

Р(V)_<= ( М_о · V) / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 177 )

Е_к(V)_<= М_о· v_x_кр2²· { 1 – {1 / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2}} ( 178 )

для массы М(V)_<, импульса Р(V)_<и кинетической энергии Е_к(V)_<движущегося тела со скоростью V в случае, когда коэффициент перехода 0 < β < 1 , можно сказать следующее:

- при значениях скорости V, несоизмеримо малых по сравнению со скоростью v_x_кр2:

М(V)_<= М_о, Р(V)_<= М_о · V, Е_к(V)_<= (М_о· V²) /2;

- при V = v_x_кр2: М(V)_<= М_о · (2)^-1/2 , Р(V)_<= М_о· v_x_кр2 · (2)^-1/2 и Е_к(V)_< = М_о· v_x_кр2² · [1 – (2)^-1/2] ;

- при V < v_x_кр2: М(V) Е_к(V)_<, Р(V)_<и Е_к(V)_<- принимают действительные значения;

- при V > v_x_кр2: М(V)_<, Р(V)_<и Е_к(V)_< - принимают действительные значения;

- при V = ∞: М(V)_<стремится к нулю,Р(V)_<= М_о· v_x_кр2 , Е_к(V)_<= М_о· v_x_кр2² .

Как видно из сравнения, оба диапазона возможного значения коэффициента перехода β > 1 и 0 < β < 1 являются равноценными (оба удовлетворяют граничному условию).

3.2. Определение значения коэффициента перехода β

С помощью полученных зависимостей (155) и (176) массы тела от скорости V постараемся установить, в каком именно диапазоне в действительности находятся значения коэффициента перехода β - в β > 1 или в 0 < β < 1 , т.к. эти диапазоны являются взаимоисключающими в связи с однозначностью зависимости коэффициента перехода β от величины скорости V.

Попробуем решить эту задачу, рассматривая закон сохранения импульса (закон сохранения механической энергии) в случае, если все или часть тел (материальных точек), составляющих замкнутую механическую систему, движутся нелинейно.

С этой целью обратимся к простейшему примеру.

3.2.1. Пример № 3

Допустим, что имеются две инерциальные системы отсчета, аналогичные системам отсчета, изображенным на рис. 1 - неподвижная O₁x₁y₁z₁ и подвижная O₂x₂y₂z₂, которая движется со скоростью V параллельно оси O₁x₁ относительно системы O₁x₁y₁z₁.

Предположим, что имеется замкнутая механическая система тел, показанная на рис. 5 и состоящая из точечных тел 1 и 2, имеющих равные массы М_о в состоянии покоя, и нити 3.

Тела 1 и 2 соединены абсолютно жесткой (недеформируемой) нитью 3, не имеющей массы.

ω

ω

3

1

2

R

R

О

Рис. 5

Тела 1 и 2 вращаются с угловой скоростью ω вокруг общего центра масс - точки О. Расстояние от точечного тела 1 (тела 2) до точки О равно R.

Поместим рассматриваемую замкнутую механическую систему тел 1 и 2 с нитью 3 в подвижную систему отсчета O₂x₂y₂z₂ таким образом, чтобы точка О была бы неподвижна в этой системе отсчета и совпадала с началом координат O₂, а вращение тел 1 и 2 вокруг нее происходило бы по часовой стрелке в плоскости O₂x₂y₂, как показано на рис. 6.

Рис. 6

ωּt₂₂

υ₂₂_x

υ₂₂_y

ωּt₂₁

υ₂₂

y₂

x₂

2

О≡О₂

υ₂₁

υ_21x

1

υ_21y

Также допустим, что в момент начала отсчета времени (t₂=0) в системе отсчета O₂x₂y₂z₂ тела 1 и 2 находились на оси O₂x₂, причем, тело 1 имело положительную координату, а тело 2 – отрицательную.

Опираясь на вышесказанное, можно отметить, что в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ в любой момент времени t₂ тела 1 и 2 будут иметь скорости υ₂₁и υ₂₂,соответственно равные:

υ₂₁= υ₂₂= υ= ω · R ( 196 )

При этом проекции υ₂₁_xи υ₂₁_y скорости тела 1 и проекции υ₂₂_xи υ₂₂_y скорости тела 2 на оси O₂x₂ и O₂y₂, соответственно для моментов времени t₂₁и t₂₂, будут равны:

υ₂₁_x= – [υ · Sin (ω · t₂₁)] ( 197 )

υ₂₁_y= – [υ · Cos (ω · t₂₁)] ( 198 )

υ₂₂_x= υ · Sin (ω · t₂₂) ( 199 )

υ₂₂_y= υ · Cos (ω · t₂₂) ( 200 )

Связь между координатами x₂₁ и y₂₁тела 1 в зависимости от времени t₂₁ и связь между координатами x₂₂ и y₂₂тела 2 в зависимости от времени t₂₂в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ можно записать в виде:

x₂₁= R · Cos (ω · t₂₁) ( 201 )

y₂₁= – [R · Sin (ω · t₂₁)] ( 202 )

x₂₂= – [R · Cos (ω · t₂₂)] ( 203 )

y₂₂= R · Sin (ω · t₂₁) ( 204 )

Опираясь на уравнения (34) и (36), можно написать связь между координатами x₁₁ и y₁₁тела 1 в момент времени t₁₁ в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ и координатами x₂₁ и y₂₁тела 1 в момент времени t₂₁ в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ :

x₁₁= β · [ x₂₁+ (V · t₂₁)] ( 205 )

y₁₁= y₂₁( 206 )

Аналогично, используя уравнения (34) и (36), можно записать связь между координатами x₁₂ и y₁₂тела 2 в момент времени t₁₂ в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ и координатами x₂₂ и y₂₂тела 2 в момент времени t₂₂ в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ :

x₁₂= β · [ x₂₂+ (V · t₂₂)] ( 207 )

y₁₂= y₂₂( 208 )

С помощью формулы (38) можно написать связь между значениями времен t₁₁, t₂₁ и t₁₂, t₂₂:

t₁₁ = {[(β²– 1) · x₂₁] / (β · V)} + (β · t₂₁) ( 209 )

t₁₂ = {[(β²– 1) · x₂₂] / (β · V)} + (β · t₂₂) ( 210 )

В рассматриваемом примере нас будет интересовать положение тел 1 и 2 в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁в один и тот же момент времени, т.е. когда:

t₁₁ = t₁₂ ( 211 )

Тогда уравнение (211) с учетом формул (201), (203), (205), (207), (209) и (210) примет вид:

{[(β²–1)·R·Cos(ω·t₂₁)]/(β·V)}+(β·t₂₁)={[(1–β²)·R·Cos(ω·t₂₂)]/(β·V)}+(β·t₂₂) (212)

В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂при выполнении условия (211) представляет интерес положение тел 1 и 2, когда:

t₂₁= t₂₂= t_2р ( 213 )

Подставив условие (213) в уравнение (212) для случая, когда (ω · t_2р) < π , получим:

(ω · t_2р) = π / 2 ( 214 )

Т.е. для выполнения условий (211) и (213) тела 1 и 2 в рассматриваемые моменты времени должны находиться на линии, параллельной оси O₂y₂(O₁y₁).

Также в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂при выполнении условия (211) представляет интерес положение тел 1 и 2, когда:

t₂₁= 0 ( 215 )

Значение времени t₂₂ при выполнении условий (211) и (215) обозначим t_22т , для которого уравнение (212) примет вид:

t_22т= [1 – ( 1/ β²)] · [1 + Cos (ω · t_22т)] · (R / V) ( 216 )

или:

ω · t_22т= [1 – ( 1/ β²)] · [1 + Cos (ω · t_22т)] · (υ / V) ( 217 )

Как видно из уравнения (217), значение времени t_22т в зависимости от значения коэффициента перехода β может быть:

- t_22т> 0 при β > 1 ; ( 218 )

- t_22т< 0 при 0 < β < 1 ; ( 219 )

- t_22т= 0 при β = 1 . ( 220 )

Теперь можем приступить к проверке выполнения закона сохранения импульса (закона сохранения кинетической энергии).

Рассмотрим два момента времени в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ .

3.2.1.1. Момент времени t_1р

Согласно условиям (211) и (213) для тел 1 и 2, моменту времени t_1р в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ будет соответствовать момент времени t_2рв подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂.

Как показано на рис. 7, согласно уравнениям (214), (197)÷(200) в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ в момент времени t_2р тела 1 и 2 соответственно имеют следующие значения проекций υ₂₁_x_р , υ₂₁_y_ри υ₂₂_x_р , υ₂₂_y_р скоростей своего движения на оси O₂x₂ и O₂y₂:

υ₂₁_x_р= – υ ( 221 )

υ₂₁_y_р= 0 ( 222 )

υ₂₂_x_р= υ ( 223 )

υ₂₂_y_р= 0 ( 224 )

Тогда, исходя из формул (40), (42) и равенств (221)÷(224), в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ в момент времени t_1р тело 1 и тело 2 соответственно будут иметь следующие значения проекций υ₁₁_x_р , υ₁₁_y_ри υ₁₂_x_р , υ₁₂_y_р скоростей своего движения на оси O₁x₁ и O₁y₁:

υ₁₁_x_р = (V – υ) / {1 – {[(β²– 1) · υ] / (β²· V)}} ( 225 )

υ₁₁_y_р = 0 ( 226 )

υ₁₂_x_р = (V + υ) / {{[(β²– 1) · υ] / (β²· V)} + 1} ( 227 )

υ₁₂_y_р= 0 ( 228 )

3.2.1.2. Момент времени t_1т

Согласно условиям (211) и (215) моменту времени t_1т в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ будет соответствовать момент времени t₂₁= 0 для тела 1 и момент времени t_22тдля тела 2 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂.

Как показано на рис. 8, в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ в момент времени t₂₁= 0 тело 1 и в момент времени t_22т тело 2 соответственно имеют следующие значения проекций υ₂₁_x_т , υ₂₁_y_ти υ₂₂_x_т , υ₂₂_y_т скоростей своего движения на оси O₂x₂ и O₂y₂, причем:

υ₂₁_x_т= 0 ( 229 )

υ₂₁_y_т= – υ ( 230 )

Тогда, исходя из формул (40), (42) и равенств (229), (230) в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ в момент времени t_1т тело 1 и тело 2 соответственно будут иметь значения проекций υ₁₁_x_т , υ₁₁_y_ти υ₁₂_x_т , υ₁₂_y_т скоростей своего движения на оси O₁x₁ и O₁y_1,причем:

υ₁₁_x_т = V ( 231 )

υ₁₁_y_т = – ( υ / β ) ( 232 )

υ₁₂_x_т = (V + υ₂₂_x_т) / {{[(β²– 1) · υ₂₂_x_т] / (β²· V)} + 1} ( 233 )

υ₁₂_y_т = υ₂₂_y_т / {{[(β²– 1) · υ₂₂_x_т] / (β· V)} + β} ( 234 )

Рис. 8

Учитывая условие (218), что при коэффициенте перехода β > 1 время t_22т> 0, можно отметить, что при коэффициенте перехода β > 1 проекция скорости υ₂₂_y_т будет направлена по направлению оси O₂y₂.

Также, исходя из условия (219), утверждающего, что при коэффициенте перехода 0 < β < 1 время t_22т< 0, можно отметить, что при коэффициенте перехода 0 < β < 1 проекция скорости υ₂₂_y_т будет иметь направление, противоположное направлению оси O₂y₂.

Из уравнений (199) и (200) можно получить:

υ₂₂_x_т²+ υ₂₂_y_т²= υ²( 235 )

3.2.1.3. Уравнения закона сохранения импульса и закона сохранения механической энергии для примера № 3

В неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ в момент времени t_1р тело 1 и тело 2 соответственно будут иметь следующие значения кинетических энергий Е_к11р и Е_к12р и проекций Р₁₁_x_р , Р₁₁_y_ри Р₁₂_x_р , Р₁₂_y_р импульсов на оси O₁x₁ и O₁y₁:

Р₁₁_x_р= [М_о· f (V = υ₁₁_x_р) · υ₁₁_x_р]( 236 )

Р₁₂_x_р= [М_о· f (V = υ₁₂_x_р) · υ₁₂_x_р]( 237 )

Р_11ур= 0( 238 )

Р_12ур= 0( 239 )

υ₁₁_x_р

Е_к11р= { М_о· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} ( 240 )

⁰

υ₁₂_x_р

Е_к12р= { М_о· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} ( 241 )

⁰

В неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ в момент времени t_1т тело 1 и тело 2 соответственно будут иметь следующие значения кинетических энергий Е_к11т и Е_к12т и проекций Р₁₁_x_т , Р₁₁_y_ти Р₁₂_x_т , Р₁₂_y_т импульсов на оси O₁x₁ и O₁y₁:

Р₁₁_x_т= {М_о· f [V = (υ₁₁_x_т²+υ₁₁_y_т²)^1/2] · υ₁₁_x_т}( 242 )

Р₁₂_x_т= {М_о· f [V = (υ₁₂_x_т²+υ₁₂_y_т²)^1/2] · υ₁₂_x_т} ( 243 )

Р_11ут= {М_о· f [V=(υ₁₁_x_т²+υ₁₁_y_т²)^1/2] ·υ₁₁_y_т} ( 244 )

Р_12ут= {М_о· f [V=(υ₁₂_x_т²+υ₁₂_y_т²)^1/2] · υ₁₂_y_т} ( 245 )

(υ₁₁_x_т²+υ₁₁_y_т²)^1/2

Е_к11т= { М_о· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} ( 246 )

⁰

(υ₁₂_x_т²+υ₁₂_y_т²)^1/2

Е_к12т= { М_о· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} ( 247 )

⁰

В связи с тем, что механическая система тел 1 и 2 (и нити 3) является замкнутой, закон сохранения импульса позволяет записать для моментов времени t_1р и t_1т следующие уравнения:

Р₁₁_x_р+Р₁₂_x_р= Р₁₁_x_т+Р₁₂_x_тили

[М_о· f (V = υ₁₁_x_р) · υ₁₁_x_р]+ [М_о· f (V = υ₁₂_x_р) · υ₁₂_x_р] = {М_о· f [V = (υ₁₁_x_т²+υ₁₁_y_т²)^1/2] · υ₁₁_x_т}+ {М_о· f [V = (υ₁₂_x_т²+υ₁₂_y_т²)^1/2] · υ₁₂_x_т} (248)

Р_11ур+Р_12ур= Р_11ут+Р_12утили

0 ={М_о· f [V=(υ₁₁_x_т²+υ₁₁_y_т²)^1/2] ·υ₁₁_y_т} + {М_о· f [V=(υ₁₂_x_т²+υ₁₂_y_т²)^1/2] · υ₁₂_y_т} (249)

Также в связи с тем, что механическая система тел 1 и 2 (и нити 3) является замкнутой и потенциальные энергии тел 1 и 2 не изменяются и являются постоянными величинами, закон сохранения механической энергии позволяет записать для моментов времени t_1р и t_1т следующее уравнение:

Е_к11р +Е_к12р = Е_к11т+Е_к12т или

υ₁₁_x_р υ₁₂_x_р

{ М_о· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о· ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV}=

^{0
0}

(υ₁₁_x_т²+υ₁₁_y_т²)^1/2(υ₁₂_x_т²+υ₁₂_y_т²)^1/2

{ М_о· ∫ {[f (V) ·V]+[f′ (V) ·V²]}·dV} +{ М_о· ∫ {[f (V) ·V]+[f′ (V) ·V²]}·dV} (250)

^{0
0}

3.2.1.4. Определение условий выполнения закона сохранения импульса для примера № 3 при коэффициенте перехода β ≥ 1

В случае, если коэффициент перехода β ≥ 1 , то значения коэффициента перехода β и функции f (V)определяются:

β_>²= 1 / [1– (V²/ v_x_кр1²)] ( 64 )

f (V)_>= 1 / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 154 )

Тогда с учетом формулы (154) уравнения (245) и (246) примут вид:

{(М_о·υ₁₁_x_р)/[1–(υ₁₁_x_р²/v_x_кр1²)]^1/2} + {(М_о·υ₁₂_x_р)/[1–(υ₁₂_x_р²/v_x_кр1²)]^1/2]} = {(М_о·υ₁₁_x_т) / {1–[(υ₁₁_x_т²+υ₁₁_y_т²)/v_x_кр1²]}^1/2}+ {(М_о· υ₁₂_x_т)/{1– [ (υ₁₂_x_т²+υ₁₂_y_т²)/v_x_кр1²]}^1/2}(251)

0 = {(М_о· υ₁₁_y_т) / {1– [(υ₁₁_x_т²+ υ₁₁_y_т²)/ v_x_кр1²]}^1/2}+ {(М_о· υ₁₂_y_т) / {1– [(υ₁₂_x_т²+ υ₁₂_y_т²)/ v_x_кр1² ]}^1/2} ( 252 )

Формулы (225)÷(228) и (231)÷(234) с учетом формулы (64) можно записать:

υ₁₁_x_р = (V – υ) / {1 – [(V · υ )/v_x_кр1²]} ( 253 )

υ₁₂_x_р = (V+ υ) / {1 + [(V · υ )/ v_x_кр1²]} ( 254 )

υ₁₁_x_т = V ( 231 )

υ₁₁_y_т = – {υ · [1 – (V²/ v_x_кр1²)]^1/2} ( 255 )

υ₁₂_x_т = (V + υ₂₂_x_т) / {1 + [(V · υ₂₂_x_т)/ v_x_кр1²]} ( 256 )

υ₁₂_y_т = {υ₂₂_y_т · [1 – (V²/ v_x_кр1²)]^1/2} / {1 + [(V · υ₂₂_x_т) / v_x_кр1²]} ( 257 )

Вставив проекции скоростей υ₁₁_x_р, υ₁₂_x_р , υ₁₁_x_т , υ₁₁_y_т , υ₁₂_x_т и υ₁₂_y_т из формул (231), (253)÷(257) в уравнения (251) и (252) и используя формулу (235), получим:

{[М_о· (V– υ)] / {[1 – (υ²/v_x_кр1²)]^1/2· [1 – (V²/v_x_кр1²)]^1/2}} + {[М_о· (V+ υ) )] / {[1 – (υ²/v_x_кр1²)]^1/2· [1 – (V²/v_x_кр1²)]^1/2}} = {(М_о· V) / {[1 – (υ²/v_x_кр1²)]^1/2· [1 – (V²/v_x_кр1²)]^1/2}} +{[М_о· (V+ υ₂₂_x_т)]/{[1 – (υ²/v_x_кр1²)]^1/2· [1 – (V²/v_x_кр1²)]^1/2}} (258)

0 = – {(М_о· υ) / [1 – (υ²/v_x_кр1²)]^1/2} + {(М_о· υ₂₂_y_т) / [1 – (υ²/v_x_кр1²)]^1/2} ( 259 )

или:

V – υ + V + υ = V + V+ υ₂₂_x_т

0 = – υ + υ_22ут

Из уравнений (258) и (259) получаем необходимые условия (значения проекций скоростей υ₂₂_x_т и υ₂₂_y_т), при которых в примере № 3 при коэффициенте перехода β ≥ 1 будет выполняться закон сохранения импульса в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁:

υ₂₂_x_т = 0 ( 260 )

υ₂₂_y_т = υ ( 261 )

Из равенств (260) и (261) следует, что величины проекций скоростей υ₂₂_x_т и υ₂₂_y_т не зависят от величины скорости V (и, следовательно, не зависят от величины коэффициента перехода β).

Подставив условия (260) и (261) в уравнения (199) и (200), получим:

t_22т=t_21т= 0 ( 262 )

А подставив уравнение (262) в формулу (217):

ω · 0= [1 – ( 1/ β²)] · ( 1 + 1 ) · (υ / V) ( 263 )

будем иметь еще одно условие выполнения закона сохранения импульса в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁для примера № 3:

β = 1 ( 264 )

Таким образом, можно сделать вывод, что в замкнутой механической системе тел, рассматриваемой в примере № 3, для значений коэффициента перехода β>1 закон сохранения импульса не выполняется.

3.2.1.5. Определение условий выполнения закона сохранения механической энергии для примера № 3 при коэффициенте

перехода β ≥ 1

В дополнение к условиям выполнения закона сохранения импульса постараемся определить условия выполнения закона сохранения механической энергии.

С учетом формулы (154) уравнение (250) примет вид:

[(М_о·v_x_кр1²)·{{1/[1–(υ₁₁_x_р²/v_x_кр1²)]^1/2}–1}] + [(М_о·v_x_кр1²)·{{1/[1–(υ₁₂_x_р²/v_x_кр1²)]^1/2} –1}] = [(М_о·v_x_кр1²)·{{1/[1–((υ₁₁_x_т²+υ₁₁_y_т²)/v_x_кр1²)]^1/2}–1}] + [(М_о·v_x_кр1²)·{{1/[1–((υ₁₂_x_т²+υ₁₂_y_т²)/v_x_кр1²)]^1/2}–1}] (265)

Вставив проекции скоростей υ₁₁_x_р, υ₁₂_x_р , υ₁₁_x_т , υ₁₁_y_т , υ₁₂_x_т и υ₁₂_y_т из формул (231), (252)÷(256) в уравнение (265), с учетом формулы (235) получим:

{ [1 – (υ · V)/v_x_кр1²)] · v_x_кр1/{[1 – ( V²/v_x_кр1²)] · [( v_x_кр1²– υ²)]}^1/2} + { [1+ (υ · V)/v_x_кр1²)] · v_x_кр1/{[1 – ( V²/v_x_кр1²)] · [( v_x_кр1²– υ²)]}^1/2} = { v_x_кр1/{[1 – (V²/v_x_кр1²)] · [( v_x_кр1²– υ²)]}^1/2} + { [1 + (υ₂₂_x_т · V)/v_x_кр1²)] · v_x_кр1/{[1 – (V²/v_x_кр1²)] · [[ (v_x_кр1²– υ²)]}^1/2} (266)

Или:

1 – [(υ · V)/v_x_кр1²]+ 1+ [(υ · V)/v_x_кр1²]= 1 + 1 + [(υ₂₂_x_т · V)/v_x_кр1²]

Из уравнения (266) получаем необходимое условие (значение проекции скорости υ₂₂_x_т), при котором в примере № 3 при коэффициенте перехода β ≥ 1 в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁будет выполняться закон сохранения механической энергии, предполагая, что потенциальная энергия системы тел 1 и 2 не меняется:

υ₂₂_x_т = 0 ( 260 )

Тогда, исходя из формулы (232), получим:

υ₂₂_y_т = υ ( 261 )

Это позволяет сделать вывод: условием для выполнения закона сохранения механической энергии (как и условием для выполнения закона сохранения импульса) в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁для примера № 3 является:

β = 1 ( 264 )

Таким образом, получается, что в замкнутой механической системе тел, рассматриваемой в примере № 3, для значений коэффициента перехода β>1 закон сохранения механической энергии не выполняется.

Аналогично может быть доказано, что в замкнутой механической системе тел, рассматриваемой в примере № 3, для значений коэффициента перехода β>1 закон сохранения момента импульса не будет выполняться.

Подтвердим вышесказанное числовыми расчетами.

3.2.1.6. Цифровой расчет для примера № 3 при коэффициенте перехода β > 1

Предположим, что:

V / v_x_кр1 = 0,9, υ / v_x_кр1= 0,6 .

Уравнение (217) с учетом формулы (64) можно записать в виде:

ω · t_22т= [(υ · V)/ v_x_кр1²] · [1 + Cos (ω · t_22т)] ( 267 )

Тогда получим:

ω · t_22т= 0,8828669738, проекции υ₂₂_x_т/ v_x_кр1 = 0,4635374427 и υ₂₂_y_т / v_x_кр1 = 0,3809633042 скорости движения тела 2 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ .

В неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁:

а) в момент времени t_1ртела 1 и 2, соответственно, имели проекции К₁₁_x_р/ (М_о·v_x_кр1) = 0,860309002 и К₁₂_x_р/ (М_о·v_x_кр1) = 4,30154501 импульса на ось O₁x₁ , кинетические энергии Е_к11р/ (М_о·v_x_кр1²) = 0,31914047 и Е_к12р/ (М_о·v_x_кр1²) = 3,416252877;

б) в момент времени t_1ттело 1 имело проекции К₁₁_x_т/ (М_о·v_x_кр1) = 2,580927006 и К₁₁_y_т/(М_о·v_x_кр1) = – 0,75 импульса на оси O₁x₁ и O₁y₁, соответственно, кинетическую энергию Е_к11т/ (М_о·v_x_кр1²) = 1,092373316;

в) в момент времени t_1ттело 2 имело проекции К₁₂_x_т/ (М_о·v_x_кр1) = 3,9102117884 и К₁₂_y_т/ (М_о·v_x_кр1) = 0,4762041303 импульса на оси O₁x₁ и O₁y₁, кинетическую энергию Е_к12т/ (М_о·v_x_кр1²) = 3,064052977;

г) в момент времени t_1рсистема тел 1 и 2 имела проекции К₁₁_xΣ_р/ (М_о·v_x_кр1) = 5,161854012 и К₁₂_yΣ_р/ (М_о·v_x_кр1) = 0 импульса на оси O₁x₁ и O₁y₁, кинетическую энергию Е_кр/ (М_о·v_x_кр1²) = 3,735393347;

д) в момент времени t_1тсистема тел 1 и 2 имела проекции К₁₁_xΣ_т/ (М_о·v_x_кр1) = 6,491138794 и К₁₂_yΣ_т/(М_о·v_x_кр1) = – 0,2737958696 импульса на оси O₁x₁ и O₁y₁, кинетическую энергию Е_кт/ (М_о·v_x_кр1²) = 4,931749651.

Закон сохранения импульса не выполняется, т.к.: 5,161854012 # 6,491138794 и – 0,2737958696 # 0 .

Закон сохранения кинетической энергии не выполняется, т.к.: 3,735393347 # 4,931749651.

3.2.1.7. Определение условий выполнения закона сохранения импульса для примера № 3 при коэффициенте перехода 0 < β ≤ 1

В случае, если коэффициент перехода 0 < β ≤ 1, то значения коэффициента перехода β и функции f (V)определяются:

β_<²= 1 / [1+ (V²/ v_x_кр2²)] ( 65 )

f (V)_<= 1 / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 175 )

Тогда, с учетом формулы (175) уравнения (248) и (249) примут вид:

{(М_о·υ₁₁_x_р)/ [1+(υ₁₁_x_р²/v_x_кр2²)]^1/2}+ {(М_о·υ₁₂_x_р)/[1+(υ₁₂_x_р²/v_x_кр2²) ]^1/2}= {(М_о·υ₁₁_x_т) / {1+[(υ₁₁_x_т²+υ₁₁_y_т²)/v_x_кр2²]}^1/2}+ {(М_оυ₁₂_x_т)/{1+[ (υ₁₂_x_т²+υ₁₂_y_т²)/v_x_кр2²]}^1/2} (268)

0 = {(М_о· υ₁₁_y_т) / {1+ [(υ₁₁_x_т²+ υ₁₁_y_т²)/ v_x_кр2²]}^1/2}+ {(М_о· υ₁₂_y_т) / {1+ [(υ₁₂_x_т²+ υ₁₂_y_т²)/ v_x_кр2² ]}^1/2} (269)

Формулы (225)÷(228) и (231)÷(234) с учетом формулы (65) можно записать:

υ₁₁_x_р = (V – υ) / {1 + [(V · υ )/v_x_кр2²]} ( 270 )

υ₁₂_x_р = (V+ υ) / {1 – [(V · υ )/ v_x_кр2²]} ( 271 )

υ₁₁_x_т = V ( 231 )

υ₁₁_y_т = – {υ · [1 + (V²/ v_x_кр2²)]^1/2} ( 272 )

υ₁₂_x_т = (V + υ₂₂_x_т) / {1 – [(V · υ₂₂_x_т)/ v_x_кр2²]} ( 273 )

υ₁₂_y_т = {υ₂₂_y_т · [1 + (V²/ v_x_кр2²)]^1/2} / {1 – [(V · υ₂₂_x_т) / v_x_кр2²]} ( 274 )

Вставив проекции скоростей υ₁₁_x_р, υ₁₂_x_р , υ₁₁_x_т , υ₁₁_y_т , υ₁₂_x_т и υ₁₂_y_т из формул (231), (270)÷(274) в уравнения (268) и (269) и используя формулу (235), получим:

{[М_о· (V– υ)] / {[1 + (υ²/v_x_кр2²)]^1/2· [1 + (V²/v_x_кр2²)]^1/2}} + {[М_о· (V+ υ) )] / {[1 + (υ²/v_x_кр2²)]^1/2· [1 + (V²/v_x_кр2²)]^1/2}} = {(М_о· V) / {[1 + (υ²/v_x_кр2²)]^1/2· [1 + (V²/v_x_кр2²)]^1/2}} +{[М_о· (V+ υ₂₂_x_т)]/{[1 + (υ²/v_x_кр2²)]^1/2· [1 + (V²/v_x_кр2²)]^1/2}} (275)

0 = – {(М_о· υ) / [1 + (υ²/v_x_кр2²)]^1/2} + {(М_о· υ₂₂_y_т) / [1 + (υ²/v_x_кр2²)]^1/2} ( 276 )

или:

V – υ + V + υ = V + V+ υ₂₂_x_т

0 = – υ + υ_22ут

Из уравнений (275) и (276) получаем необходимые условия (значения υ₂₂_x_т и υ₂₂_y_т), при которых в примере № 3 при коэффициенте перехода 0 < β ≤ 1 будет выполняться закон сохранения импульса в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁:

υ₂₂_x_т = 0 ( 260 )

υ₂₂_y_т = υ ( 261 )

Подставив условия (260) и (261) в уравнения (199) и (200), получим:

t_22т=t_21т= 0 ( 262 )

А подставив уравнение (262) в формулу (217):

ω · 0= [1 – ( 1/ β²)] · ( 1 + 1 ) · (υ / V) ( 263 )

β = 1 ( 264 )

Таким образом, можно сделать вывод, что в замкнутой механической системе тел, рассматриваемой в примере № 3, для значений коэффициента перехода 0 < β < 1 закон сохранения импульса не выполняется.

3.2.1.8. Определение условий выполнения закона сохранения механической энергии для примера № 3 при коэффициенте

перехода 0 < β < 1

С учетом формулы (175) уравнение (250) примет вид:

[(М_о· v_x_кр2²) · { 1 – {1/[1 + (υ₁₁_x_р²/v_x_кр2²)]^1/2}}] + [(М_о·v_x_кр2²)·{ 1 – {1/[1 + (υ₁₂_x_р²/ v_x_кр2²)]^1/2}}] = [(М_о·v_x_кр2²)·{ 1 – {1/[1+((υ₁₁_x_т²+υ₁₁_y_т²)/v_x_кр2²)]^1/2}}] + [(М_о·v_x_кр2²)·{ 1 – {1/[1+((υ₁₂_x_т²+υ₁₂_y_т²)/v_x_кр2²)]^1/2}}] (277)

Вставив проекции скоростей υ₁₁_x_р, υ₁₂_x_р , υ₁₁_x_т , υ₁₁_y_т , υ₁₂_x_т и υ₁₂_y_т из формул (231), (270)÷(274) в уравнение (277), с учетом формулы (235), получим:

{ [1 + (υ · V)/v_x_кр2²)] · v_x_кр1/{[1 + ( V²/v_x_кр2²)] · [( v_x_кр2²+ υ²)]}^1/2} + { [1– (υ · V)/v_x_кр2²)] · v_x_кр2/{[1 + ( V²/v_x_кр2²)] · [( v_x_кр2²+ υ²)]}^1/2} = { v_x_кр2/{[1 + (V²/v_x_кр2²)] · [( v_x_кр2²+ υ²)]}^1/2} + { [1 – (υ₂₂_x_т · V)/v_x_кр2²)] · v_x_кр2/{[1 + (V²/v_x_кр2²)] · [(v_x_кр2²+ υ²)]}^1/2} (278)

Или:

1 + [(υ · V)/v_x_кр1²]+ 1 – [(υ · V)/v_x_кр1²]= 1 + 1 – [(υ₂₂_x_т · V)/v_x_кр1²]

Из уравнения (278) получаем необходимое условие (значение проекции скорости υ₂₂_x_т), при котором в примере № 3 при коэффициенте перехода 0 < β < 1 в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁будет выполняться закон сохранения механической энергии, предполагая, что потенциальная энергия системы тел 1 и 2 не меняется:

υ₂₂_x_т = 0 ( 260 )

Тогда, исходя из формулы (232), получим:

υ₂₂_y_т = υ ( 261 )

β = 1 ( 264 )

Таким образом, получается, что в замкнутой механической системе тел, рассматриваемой в примере № 3, для значений коэффициента перехода 0 < β < 1 закон сохранения механической энергии не выполняется.

Аналогично может быть доказано, что в замкнутой механической системе тел, рассматриваемой в примере № 3, для значений коэффициента перехода 0 < β < 1 закон сохранения момента импульса не будет выполняться.

Подтвердим вышесказанное числовыми расчетами.

3.2.1.9. Цифровой расчет для примера № 3 при коэффициенте

перехода 0 < β < 1

Предположим, что V / v_x_кр2 = 0,9, υ / v_x_кр2= 0,6 .

Уравнение (217) с учетом формулы (65) можно записать в виде:

ω · t_22т= – [(υ · V)/ v_x_кр2²] · [1 + Cos (ω · t_22т)] ( 279 )

Тогда получим:

ω · t_22т= – 0,8828669738, проекции υ₂₂_x_т/ v_x_кр2 = – 0,4635374427 и υ₂₂_y_т / v_x_кр2 = 0,3809633042 скорости движения тела 2 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ .

В неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁:

а) в момент времени t_1ртела 1 и 2, соответственно, имели проекции К₁₁_x_р/(М_о·v_x_кр2) = 0,1912108416 и К₁₂_x_р/(М_о·v_x_кр2) = 0,9560542082 импульса на ось O₁x₁, кинетические энергии Е_к11р/ (М_о·v_x_кр2²) = 0,018451013 и Е_к12р/ (М_о·v_x_кр2²) = 0,706810043;

б) в момент времени t_1ттело 1 имело проекции К₁₁_x_т/ (М_о·v_x_кр2) = 0,5736325249 и К₁₁_y_т/ (М_о·v_x_кр2) = – 0,5144957554 импульса на оси O₁x₁ и O₁y₁,соответственно, кинетическую энергию Е_к11т/ (М_о·v_x_кр2²) = 0,362630528;

в) в момент времени t_1ттело 2 имело проекции К₁₂_x_т/ (М_о·v_x_кр2) = 0,2781879097 и К₁₂_y_т/ (М_о·v_x_кр2) = 0,3266733383 импульса на оси O₁x₁ и O₁y₁, кинетическую энергию Е_к12т/ (М_о·v_x_кр2²) = 0,628530682;

г) в момент времени t_1рсистема тел 1 и 2 имела проекции К₁₁_xΣ_р/ (М_о·v_x_кр2) = 1,1472650498 и К₁₂_yΣ_р/ (М_о·v_x_кр2) = 0 импульса на оси O₁x₁ и O₁y₁, кинетическую энергию Е_кр/ (М_о·v_x_кр2²) = 0,725261056;

д) в момент времени t_1тсистема тел 1 и 2 имела проекции К₁₁_xΣ_т/ (М_о·v_x_кр2) = 0,8518204346 и К₁₂_yΣ_т/ (М_о·v_x_кр2) = – 0,187822417 импульса на оси O₁x₁ и O₁y₁, кинетическую энергию Е_кт/ (М_о·v_x_кр2²) = 0,991161209.

Закон сохранения импульса не выполняется, т.к.: 1,1472650498 # 0,8518204346 и – 0,187822417 # 0 .

Закон сохранения кинетической энергии не выполняется, т.к.: 0,725261056 # 0,991161209.

К результатам, полученным при рассмотрении примера № 3, приведет и рассмотрение системы тел, изображенной на рис. 9, в которой тела 1 и 2, описанные в примере № 3, удерживаются не жесткой нитью, а силой притяжения тела 3 (точечного), которое будет находиться в центре О.

1

2

R

R

О

ω

ω

3

Рис. 9

3.2.1.10. Выводы

В результате рассмотрения примера № 3 было получено, что при значениях коэффициента перехода β, находящихся в диапазонах β > 1 и 0 < β < 1, в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁:

- импульс замкнутой механической системы тел 1 и 2 (и нити 3) в момент времени, когда тела 1 и 2 находятся на линии, параллельной оси O₁y₁, не равен импульсу этой системы тел 1 и 2 (и нити 3) в любой другой момент времени, когда тела 1 и 2 не находятся на линии, параллельной оси O₁y₁, т.е. в неподвижной (инерциальной) системе отсчета O₁x₁y₁z₁ замкнутая механическая система тел 1 и 2 (и нити 3) будет иметь меняющийся во времени импульс, что является нарушением закона сохранения импульса замкнутой механической системы тел;

- кинетическая энергия (при неизменности потенциальной энергии системы тел 1 и 2) замкнутой механической системы тел 1 и 2 (и нити 3) в момент времени, когда тела 1 и 2 находятся на линии, параллельной оси O₁y₁, не равна кинетической энергии этой системы тел 1 и 2 (и нити 3) в любой другой момент времени, когда тела 1 и 2 не находятся на линии, параллельной оси O₁y₁, т.е. в неподвижной (инерциальной) системе отсчета O₁x₁y₁z₁ замкнутая механическая система тел 1 и 2 (и нити 3) будет иметь меняющуюся во времени кинетическую энергию, что при неизменности величины потенциальной энергии системы тел 1 и 2 является нарушением закона сохранения механической энергии замкнутой механической системы тел.

Аналогично может быть доказано, что при рассмотрении примера № 3 получим, что при значениях коэффициента перехода β, находящихся в диапазонах β > 1 и 0 < β < 1, в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ момент импульса замкнутой механической системы тел 1 и 2 (и нити 3) в момент времени, когда тела 1 и 2 находятся на линии, параллельной оси O₁y₁, не равен моменту импульса этой системы тел 1 и 2 (и нити 3) в любой другой момент времени, когда тела 1 и 2 не находятся на линии, параллельной оси O₁y₁, т.е. в неподвижной (инерциальной) системе отсчета O₁x₁y₁z₁ замкнутая механическая система тел 1 и 2 (и нити 3) будет иметь меняющийся во времени момент импульса, что является нарушением закона сохранения момента импульса замкнутой механической системы тел.

Изменение во времени значений импульса, кинетической энергии (при неизменности потенциальной энергии системы тел 1 и 2 (и нити 3)), момента импульса замкнутой механической системы тел 1 и 2 (и нити 3) в примере № 3 свидетельствует о том, что при значениях коэффициента перехода β, находящихся в диапазонах β > 1 и 0 < β < 1, имеет место невыполнение законов сохранения импульса, механической энергии и момента импульса.

Исходя из того, что законы сохранения импульса, механической энергии (при неизменности потенциальной энергии системы) и момента импульса замкнутой механической системы связаны с симметрией пространства и времени (однородностью и изотропностью пространства и однородностью времени), можно отметить, что при значениях коэффициента перехода β, находящихся в диапазонах β > 1 и 0 < β < 1, нарушается условие симметрии пространства и времени.

Если по определению (исходному предположению) симметричное пространство и время являются областью, в которой должна действовать специальная теория относительности, а при использовании специальной теории относительности для рассмотрении отдельного примера № 3 было отмечено нарушение условия симметрии пространства и времени при значениях коэффициента перехода β, находящихся в диапазонах β > 1 и 0 < β < 1, то мы имеем случай, когда есть теория, но нет области ее применения.

Т.е., в случае симметрии пространства и времени связь между координатами и временем в инерциальных системах отсчета не может быть записана с помощью специальной теории относительности при значениях коэффициента перехода β, находящихся в диапазонах β > 1 и 0 < β < 1.

Одним словом, при симметрии пространства и времени для инерциальных систем отсчета специальная теория относительности (при коэффициенте перехода β ≠ 1) не применима.

Как показано при рассмотрении примера № 3, законы сохранения импульса, механической энергии (при неизменности потенциальной энергии системы) и момента импульса замкнутой механической системы, а, следовательно, и условие симметрии пространства и времени выполняются только при коэффициенте перехода β = 1 (когда v_x_кр1= ∞или v_x_кр2= ∞), т.е. когда коэффициент перехода β не является функцией скорости V движения инерциальной системы отсчета.

А это позволяет сделать вывод, что при симметрии пространства и времени соотношения между координатами и временем одного и того же события в двух инерциальных системах отсчета - неподвижной O₁x₁y₁z₁и подвижной O₂x₂y₂z₂ , изображенных на рис. 1, исходя из формул (34)÷(38) и (260), должны иметь следующий вид:

x₁= ( x₂+ V · t) ( 280 )

x₂= ( x₁+ V · t) ( 281 )

y₁= y₂( 35 )

z₁= z₂( 36 )

t₁ = t₂ = t ( 282 )

т.е., преобразования Галилея (система уравнений (35), (36) и (280)÷(282)) верны для любых значений скорости V движения инерциальной системы отсчета.

3.3. Пример № 4, подтверждающий выводы, сделанные при рассмотрении примера № 3

Попробуем рассмотреть следующий пример, позволяющий также прийти к выводам, полученным при рассмотрении примера № 3.

В примере № 4 в отличие от примера № 3 будут рассматриваться не криволинейные, а прямолинейные движения тел, составляющих замкнутую механическую систему.

Допустим, что имеются две инерциальные системы отсчета, аналогичные системам отсчета, изображенным на рис.1, неподвижная O₁x₁y₁z₁ и подвижная O₂x₂y₂z₂, которая движется со скоростью V параллельно оси O₁x₁ относительно системы O₁x₁y₁z₁.

Предположим, что имеется замкнутая механическая система тел, показанная на рис. 10 и состоящая из тела 1 и тела 2, имеющих равные массы М_о в состоянии покоя, и пружины 3.

Тела 1 и 2 соединены с абсолютно упругой пружиной 3, не имеющей массы (масса которой ничтожно мала по сравнению с массами тел 1 и 2).

Под действием пружины 3 тела 1 и 2 совершают симметричные возвратно-поступательные движения относительно общего центра масс системы тел 1 и 2 - точки S.

Центр масс тела 1 - точка S₁и центр масс тела 2 - точка S₂ постоянно находятся на одной прямой линии, проходящей через точки S, S₁ и S₂.

Поместим рассматриваемую замкнутую механическую систему тел 1 и 2 с пружиной 3 в подвижную систему отсчета O₂x₂y₂z₂ таким образом, чтобы точка S была бы неподвижна в этой системе отсчета и совпадала с началом координат O₂, а точки S₁ и S₂находились бы на оси O₂x₂, как показано на рис. 11÷13.

В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ тела 1 и 2 совершают симметричные периодически повторяющиеся через время T₂ (период колебания системы тел 1 и 2) движения.

Предположим, как показано на рис. 11, что в момент начала отсчета времени (t₂=0) в системе отсчета O₂x₂y₂z₂ пружина 3 полностью сжата (пружина 3 имеет максимальное значение потенциальной энергии сжатия), тела 1 и 2 находятся в состоянии покоя, причем точка S₁ совпадает с точкой S₂, точкой S и началом координат O₂(допустим, что добились этого конструктивно).

Рис. 11

После момента времени t₂=0 пружина 3 начинает расжиматься и расталкивать тела 1 и 2 в разные стороны, т.е. потенциальная энергия сжатия пружины 3 начинает переходить в кинетические энергии тел 1 и 2 (скорость V₂₁ и V₂₂движения тел 1 и 2 соответственно будет постепенно возрастать).

В системе отсчета O₂x₂y₂z₂ в какой-то момент времени t₂ равный t_2мо пружина 3 будет полностью расжата (потенциальная энергия пружины 3 будет равна нулю), тела 1 и 2 будут иметь максимальные величины V_21м и V_22м скорости своего движения и максимальные значения кинетических энергий (как показано на рис. 12).

Рис. 12

После момента времени t_2мо пружина 3 начинает растягиваться, а тела 1 и 2 начинают замедляться, т.к. кинетические энергии тел 1 и 2 начинают переходить в потенциальную энергию растяжения пружины 3.

В системе отсчета O₂x₂y₂z₂ в какой-то момент времени t₂ равный t_2то тела 1 и 2 остановятся (кинетические энергии тел 1 и 2 будут равны нулю), а пружина 3 полностью растянется (кинетическая энергия тел 1 и 2 перейдет полностью в потенциальную энергию растяжения пружины 3, которая в момент времени t_2тодостигнет своего максимального значения), как показано на рис. 13.

Рис. 13

Далее от момента времени t_2то до момента времени t₂, равного периоду T₂колебания, процесс взаимодействия тел 1 и 2 с пружиной 3 будет происходить обратным образом (т.е. пружина 3 будет вначале сжиматься сама, передавая свою потенциальную энергию растяжения в кинетические энергии тел 1 и 2, а затем будет сжиматься под воздействием тел 1 и 2, которые будут передавать свои кинетические энергии в энергию сжатия пружины 3).

Учитывая периодичность движения тел 1 и 2 (и пружины 3), можно отметить, что:

- положение и состояние тел 1 и 2 и пружины 3, соответствующее моменту времени t₂= 0, будет иметь место и для моментов времени t_2р, равных:

t_2р = t₂· n ( 283 )

где: n = 0, 1, 2, 3, 4 …;

- положение и состояние тел 1 и 2 и пружины 3, соответствующее моменту времени t_2мо, будет иметь место и для моментов времени t_2м, равных:

t_2м = t_2мо + (t₂· n); ( 284 )

- положение и состояние тел 1 и 2 и пружины 3, соответствующее моменту времени t_2то, будет иметь место и для моментов времени t_2т, равных:

t_2т = t_2то + (t₂· n); ( 285 )

Для упрощения дальнейшего рассмотрения предположим, что тела 1 и 2 являются точечными.

В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂, исходя из симметрии (в любой момент времени t₂массы тел 1 и 2 одинаковы, центр S масс тел 1 и 2 совпадает с началом координат O₂), для любого момента времени t₂связь между координатой x₂₁ тела 1 и координатой x₂₂ тела 2 запишется следующим образом:

x₂₁= – x₂₂ ( 286 )

а связь между скоростью V₂₁ движения тела 1 и скоростью V₂₂ движения тела 2 будет иметь вид:

V₂₁= – V₂₂ ( 287 )

Если рассматривать движение системы тел 1 и 2 и пружины 3 в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ и подвижной инерциальной системе отсчета O₂x₂y₂z₂, как показано на рис. 14, то опираясь на уравнения (34) и (35), можно написать связь между координатой x₁₁ тела 1 в момент времени t₁₁ в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ и координатой x₂₁ тела 1 в момент времени t₂₁ в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ :

x₁₁= β · [ x₂₁+ (V · t₂₁)] ( 288 )

x₂₁= β · [ x₁₁– (V · t₁₁)] ( 289 )

Аналогично, используя уравнения (34) и (35), можно записать связь между координатой x₁₂ тела 2 в момент времени t₁₂ в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ и координатой x₂₂ тела 2 в момент времени t₂₂ в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ :

x₁₂= β · [ x₂₂+ (V · t₂₂)] ( 290 )

x₂₂= β · [ x₁₂+ (V · t₁₂)] ( 291 )

Рис. 14

С помощью формулы (38) можно написать связь между значениями времен t₁₁, t₂₁ и t₁₂, t₂₂:

t₁₁ = {[(β²– 1) · x₂₁] / (β · V)} + (β · t₂₁) ( 292 )

t₁₂ = {[(β²– 1) · x₂₂] / (β · V)} + (β · t₂₂) ( 293 )

t₁₁ = t₁₂ ( 294 )

Тогда уравнение (294) с учетом формул (292) и (293) примет вид:

{[(β²– 1) · ( x₂₁– x₂₂)] / (β² · V)} = ( t₂₂ – t₂₁) ( 295 )

В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂при выполнении условия (294) представляет интерес положение тел 1 и 2, когда:

t₂₁= t₂₂= t_2р ( 296 )

Подставив условие (296) в уравнение (295), получим:

x₂₁ = x₂₂ = 0 ( 297 )

Т.е. для выполнения условий (294) и (296) тела 1 и 2 (их центры масс) в рассматриваемый момент времени должны находиться в точке, совпадающей с центром масс S тел 1 и 2 и началом координат O₂ .

Отсюда:

t_2р = t₂· n ( 283 )

где: n = 0, 1, 2, 3, 4 …

Учитывая, что x₂₁≥ 0 и x₂₂≤ 0 (исходное условие), для случая, когда t₂₁≠ t_2р и t₂₂≠ t_2р, из формулы (295) видно, что величина времени t₂₂ в зависимости от значения коэффициента перехода β может быть:

- t₂₂ > t₂₁ при β > 1 ; ( 298 )

- t₂₂ < t₂₁ при 0 < β < 1 ; ( 299 )

- t₂₂ = t₂₁ при β = 1 . ( 300 )

Теперь можем приступить к проверке выполнения закона сохранения импульса.

Рассмотрим два момента времени в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ .

3.3.1.1. Момент времени t_1р

Как показано на рис. 15, в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ в момент времени t₂, равный t_2р,тела 1 и 2 находятся в одной точке, совпадающей с центром координат O₂ (исходное условие), и их скорости V_21р и V_22р движения соответственно равны:

V_21р= 0 ( 301 )

V_22р= 0 ( 302 )

Исходя из того, что в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ в момент времени t_2ртела 1 и 2 находятся в одной точке (т.е. координаты x_21р и x_22р тел 1 и 2 равны), в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ тела 1 и 2 в момент времени t_1р, соответствующий моменту времени t_2рв подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂, также будут находиться в одной точке (т.е. координаты x_11р и x_12р тел 1 и 2 равны).

Таким образом, в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ в момент времени t_1р тела 1 и 2 находятся в одной точке и их скорости V_11р и V_12р движения соответственно с учетом формулы (40) и равенств (301) и (302) равны:

V_11р= V ( 303 )

V_12р= V ( 304 )

Рис. 15

Следовательно, в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁импульс Р_1р замкнутой механической системы тел 1 и 2 (и пружины 3) в момент времени t_1рс учетом формулы (152) и равенств (303) и (304) равен:

Р_11р+Р_12р= Р_1р = 2 · ( М_о · V) / [1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2 ( 305 )

3.3.1.2. Момент времени t_1т

Как уже рассматривалось ранее, в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ в момент времени t₂ равный t_2т, который для тела 1 запишем, как t_21т, тело 1 имеет скорость V_21т движения равную нулю:

V_21т= 0 ( 306 )

т.к. пружина 3 в момент времени t₂ равный t_21т имеет максимальную потенциальную энергию растяжения.

Положению тела 1 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ в момент времени t_21т будет соответствовать положение тела 1 в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ в момент времени t_1т.

В неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ в момент времени t_1т тело 1, согласно уравнению (40), будет иметь скорость V_11т своего движения равную:

V_11т= V ( 307 )

В неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ в момент времени t₁ равный t_1ттело 2 будет иметь скорость движения равную V_12т.

Положению тела 2 в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ в момент времени t_1т будет соответствовать положение тела 2 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ в момент времени t₂, равный t_22т.

Как показано на рис. 16, предположим, что в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ в момент времени t₂ равный t_22ттело 2 имеет скорость движения равную V_22т.

Рис. 16

Учитывая условие (298), что при коэффициенте перехода β > 1 время t₂₂ > t₂₁ , можно отметить, что при коэффициенте перехода β > 1 скорость V_22т тела 2 будет направлена по направлению оси O₂x₂.

Кроме этого, исходя из условия (299), утверждающего, что при коэффициенте перехода 0 < β < 1 время t₂₂ < t₂₁, можно отметить, что при коэффициенте перехода 0 < β < 1 скорость V_22т тела 2 будет иметь направление, противоположное направлению оси O₂x₂.

Используя формулу (40), можно записать связь между скоростями V_12ти V_22т тела 2:

V_12т= (V_22т + V) / {{[(β²– 1) · V_22т] / (β²· V)} + 1} ( 308 )

Следовательно, в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁импульс Р_1т замкнутой механической системы тел 1 и 2 (и пружины 3) в момент времени t_1тс учетом формулы (152) и равенства (307) равен:

Р_11т+Р_12т= Р_1т= {( М_о · V) / [1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2} + {( М_о · V_12т) / [1– (V_12т²/ V_x_кр²)]^1/2} ( 309 )

3.3.1.3. Определение условий выполнения закона сохранения импульса для примера № 4

В связи с тем, что механическая система тел 1 и 2 (и пружины 3) является замкнутой, закон сохранения импульса позволяет записать для моментов времени t_1р и t_1т в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ следующее уравнение:

Р_1т= Р_1р

Или, исходя из формул (305) и (309):

{( М_о · V) / [1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2} + {( М_о · V_12т) / [1– (V_12т²/ V_x_кр²)]^1/2} =

2 · ( М_о · V) / [1– (V²/ V_x_кр²)]^1/2 ( 310 )

Из уравнения (310) следует, что необходимым условием (значением скорости V_12т), при котором в примере № 4 будет выполняться закон сохранения импульса в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁,является:

V_12т= V ( 311 )

или с учетом формулы (308):

V_22т= 0 ( 312 )

Из равенств (311) и (312) следует, что величины скоростей V_12т и V_22т не зависят от величины скорости V (и, следовательно, не зависят от величины коэффициента перехода β).

Но в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ при значениях координат x_21ттела 1 и x_22ттела 2, не равных нулю, равенство нулю скорости V_22ттела 2 возможно только, когда:

t_22т = t_21т ( 313 )

Вставив равенство (313) в формулу (295), получим:

{[(β²– 1) · ( x₂₁– x₂₂)] / (β² · V)} = 0 ( 314 )

Но т.к. величина ( x₂₁– x₂₂) > 0 , то из уравнения (314) будем иметь еще одно условие выполнения закона сохранения импульса в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁для примера № 4:

β = 1 ( 261 )

Таким образом, можно сделать вывод, что в замкнутой механической системе тел, рассматриваемой в примере № 4, для значений коэффициента перехода, находящихся в диапазонах β > 1 и 0 < β < 1 , закон сохранения импульса не выполняется.

IV. Заключение

В заключение можно обобщить вышенаписанное.

Кинематика

Использование принципа относительности и симметрии пространства и времени позволило:

1. Перейти от системы уравнений связи инерциальных систем отсчета - неподвижной O₁x₁y₁z₁и подвижной O₂x₂y₂z₂:

x₁= β₁ · ( x₂+ V₁ · t₂) ( 24 )

x₂= β₂ · ( x₁+ V₂ · t₁) ( 25 )

y₁= β₃ · y₂( 26 )

y₂= β₄ · y₁( 27 )

z₁= β₅ · z₂( 28 )

z₂= β₆ · z₁( 29 )

к системе уравнений:

x₁= β · ( x₂+ V · t₂) ( 34 )

x₂= β · ( x₁– V · t₁) ( 35 )

y₁= y₂( 36 )

z₁= z₂( 37 )

2. Установить, что значения коэффициента перехода β для инерциальных систем отсчета могут находиться в двух взаимоисключающих диапазонах:

- β > 1 ,

- 0 < β < 1

3. Получить формулу для коэффициента перехода β для инерциальных систем отсчета для случая β > 1:

β_>²= 1 / [1– (V²/ v_x_кр1²)] ( 64 )

где: v_x_кр1- постоянная действительная величина;

4. Получить формулу для коэффициента перехода β для инерциальных систем отсчета для случая 0 < β < 1:

β_<²= 1 / [1+ (V²/ v_x_кр2²)] ( 65 )

где: v_x_кр2- постоянная действительная величина;

5. Установить, что при коэффициенте перехода β > 1 существует такое действительное значение скорости V_x_кр (равное v_x_кр1) движения точки, которая будет инвариантна во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета:

v_x_кр1= Const ( 76 )

6. Установить, что при коэффициенте перехода 0 < β < 1 имеет место только мнимое значение скорости V_x_кр (равное (ί · v_x_кр2)) движения точки, которая будет инвариантна во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета:

v_x_кр2= Const ( 77 )

Динамика

1. Используя обязательность выполнения в инерциальных системах отсчета закона сохранения импульса и закона сохранения механической энергии (а точнее, его частного случая при постоянстве потенциальной энергии - постоянства кинетической энергии) для замкнутой механической системы тел, двигающихся прямолинейно и испытывающих только абсолютно упругие взаимодействия, были получены зависимости массы, импульса и кинетической энергии тела от скорости его движения:

- при β > 1 :

М(V)_>= М_о / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 155 )

Р(V)_>= ( М_о · V) / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2 ( 156 )

Е_к(V)_>= М_о· v_x_кр1²· {{1 / [1– (V²/ v_x_кр1²)]^1/2} – 1} ( 157 )

- при 0 < β < 1 :

М(V)_<= М_о / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 176 )

Р(V)_<= ( М_о · V) / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2 ( 177 )

Е_к(V)_<= М_о· v_x_кр2²· { 1 – {1 / [1+ (V²/ v_x_кр2²)]^1/2}} ( 178 )

2. На отдельном примере (пример № 3), в котором рассматривалась замкнутая механическая система тел, движущихся нелинейно, было показано, что при значениях коэффициента перехода β, находящихся в диапазонах β > 1 и 0 < β < 1, имеет место нарушение законов сохранения импульса, момента импульса и механической энергии (при неизменности потенциальной энергии системы), т.е., импульс, момент импульса и кинетическая энергия замкнутой механической системы оказались переменными во времени величинами.

Связь между законами сохранения импульса, механической энергии и момента импульса замкнутой механической системы и симметрией пространства и времени (однородностью и изотропностью пространства и однородностью времени) позволила отметить, что при значениях коэффициента перехода β, находящихся в диапазонах β > 1 и 0 < β < 1, нарушается условие симметрии пространства и времени.

При рассмотрении примера № 3 было показано, что законы сохранения импульса, механической энергии и момента импульса замкнутой механической системы, а, следовательно, и условие симметрии пространства и времени выполняются только при коэффициенте перехода β = 1.

А учитывая, что условие симметрии пространства и времени является требованием (исходным условием) специальной теории относительности к пространству и времени, то вступление выводов специальной теории относительности в противоречие с условием симметрии пространства и времени, заложенным при ее создании, позволяет предположить следующее:

- связь между координатами и временем в инерциальных системах отсчета не может быть записана с помощью специальной теории относительности, если значения коэффициента перехода β будут находиться в диапазонах β > 1 или 0 < β < 1;

- в однонаправленных инерциальных системах отсчета коэффициент перехода β не может быть больше или меньше 1, а может быть только равен 1;

- в инерциальных системах отсчета коэффициент перехода β не зависит от величины скорости V движения инерциальных систем отсчета;

- преобразования Галилея верны для инерциальных систем отсчета при любых значениях скорости V их движения:

x₁= ( x₂+ V · t) ( 280 )

x₂= ( x₁+ V · t) ( 281 )

y₁= y₂( 35 )

z₁= z₂( 36 )

t₁ = t₂ = t ( 282 )

Здесь также следует отметить, что выводы, сделанные в главе «Динамика», верны лишь при выполнении принятого предположения о том, что величина потенциальной энергии тела не зависит от величины скорости его перемещения (т.е. от величины его кинетической энергии).

P.S.: Основные идеи изложены в статье "Специальная теория относительности без постулата о постоянстве скорости света", напечатанной в журнале "Актуальные проблемы современной науки" (ISSN 1680-2721) № 1 (34) за 2007 год и размещенной на сайтах "Новые идеи и гипотезы" http://new-idea.kulichki.net/?mode=physics и "Математическая физика. Теория относительности" http://www.matphysics.ru/ .

Автор В.Н. Кочетков

Кочетков Виктор Николаевич,

y1

V

· А

V

· А

V2

V2

v21хн

V

v21хк

R

R

y₁

V₂

V₂

v_21хн

v_21хк